Idéal fractionnaire - Définition

Introduction

Richard Dedekind donne en 1876 la définition d'idéal fractionnaire.

En mathématiques, et plus précisément en théorie des anneaux, un idéal fractionnaire est une généralisation de la définition d'un idéal. Ce concept doit son origine à la théorie algébrique des nombres. Pour résoudre certaines équations diophantiennes, cette théorie utilise des anneaux d'entiers généralisant celui des entiers relatifs. Ces anneaux (unitaires) ne disposent en général pas d'équivalent du théorème fondamental de l'arithmétique et il n'est pas possible de factoriser un entier en un unique produit de facteurs premiers au groupe des éléments inversibles près. Les idéaux fournissent un équivalent de ce théorème, permettant de résoudre certaines équations diophantiennes ou d'établir des lois de réciprocités équivalentes à la loi de réciprocité quadratique établie par Gauss .

Les idéaux disposent d'une multiplication, cette opération est associative et il existe un élément neutre constitué de l'anneau tout entier. En revanche, le manque d'inverse empêche de munir l'ensemble des idéaux d'une structure de groupe. Dans le cas des anneaux d'entiers, la structure possède toutes les bonnes propriétés pour offrir un contournement. Cette configuration est axiomatisée dans la définition d'un anneau de Dedekind. Dans un premier temps l'anneau est plongé dans son corps des fractions, puis la notion d'idéal est généralisée. Un idéal fractionnaire est l'analogue d'un idéal dans le corps des fractions.

Cette notion est aussi utilisée en géométrie algébrique.

Histoire

Ernst Kummer met en évidence le concept de nombre idéal à l'origine des notions d'idéaux et d'idéaux fractionnaires de Richard Dedekind.

Une tentative de Leonhard Euler pour résoudre le dernier théorème de Fermat si n est égal à 3, l'amène à considérer les nombres de la forme a + b.i.√3, où a et b sont des entiers naturels et i l'unité imaginaire. La preuve s'avère fausse, un tel anneau n'est pas factoriel, c'est-à-dire qu'il n'existe pas une unique manière de factoriser un nombre à l'aide de facteurs premiers. Par exemple, 4 est à la fois le carré de l'entier 2 et le produit (1 + i.√3).(1 - i.√3). Si la mise en œuvre est un peu maladroite, l'idée s'avère bonne, Gauss le montre en étudiant l'anneau des entiers de la forme a + i.b, ici a et b sont des entiers naturels. Il est euclidien et dispose d'une bonne factorisation. Ferdinand Eisenstein découvre le bon anneau d'entiers pour rendre rigoureuse la démonstration d'Euler. Il est composé des nombres de la forme a + j.b, où j désigne une racine cubique de l'unité, il s'avère aussi être euclidien. Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet utilise une astuce pour initialiser la démonstration le grand théorème de Fermat pour n égal à 5, il considère l'anneau des entiers de la forme a + b.√5. Si l'anneau reste euclidien, le groupe des unités devient plus complexe. Cette complexité, qualifiée par Dirichlet d'obstruction est une première difficulté pour la résolution des équations diophantiennes.

Dans le cas général, il est vain d'espérer trouver trouver une structure euclidienne pour les anneaux d'entiers. Ernst Kummer en comprend la raison profonde, qu'il qualifie de deuxième obstruction. Les équivalents des nombres entiers, sur les anneaux d'entiers algébriques ne sont pas assez nombreux. Il ajoute en conséquence ce qu'il appelle des nombres idéaux. Cette découverte lui permet de démontrer le grand théorème de Fermat pour toutes les valeurs de n inférieures à 100 à l'exception de 37, 59 et 67.

Kummer analyse les entiers algébriques du corps Q[ζ_n], où ζ_n désigne une racine primitive de l'unité, structure maintenant appelée extension cyclotomique. Richard Dedekind et Leopold Kronecker cherchent à généraliser la théorie à toute extension finie des nombres rationnels. Leurs approches sont opposées : Kronecker s'inscrit dans la tradition calculatoire, instaurée par Gauss et suivie par Kummer, tandis que Dedekind cherche une théorie fondée sur les caractéristiques structurelles des anneaux d'entiers, quitte à ne pas disposer d'algorithme effectif. Cette philosophie l'amène à réécrire quatre fois son traité de la théorie des nombres. La version de 1876 contient la définition moderne d'idéal et d'idéal fractionnaire. Son approche abstraite le pousse à étudier la structure algébrique des idéaux, et particulièrement leur multiplication. L'adjonction des idéaux fractionnaires assure l'existence d'un inverse. La dernière version de son traité, datée de 1894, montre en toute généralité et sous sa forme moderne l'unicité de la décomposition remplaçant le théorème fondamental de l'arithmétique.