Idéal fractionnaire - Définition et Explications

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Introduction

Richard Dedekind donne en 1876 la définition d'idéal fractionnaire.

En mathématiques, et plus précisément en théorie des anneaux, un idéal fractionnaire est une généralisation (La généralisation est un procédé qui consiste à abstraire un ensemble de...) de la définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la...) d'un idéal (En mathématiques, un idéal est une structure algébrique définie dans un anneau....). Ce concept doit son origine à la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer,...) algébrique des nombres. Pour résoudre certaines équations diophantiennes, cette théorie utilise des anneaux d'entiers généralisant celui des entiers relatifs. Ces anneaux (unitaires) ne disposent en général pas d'équivalent du théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une...) fondamental de l'arithmétique (L'arithmétique est une branche des mathématiques qui comprend la partie de la...) et il n'est pas possible de factoriser un entier en un unique produit de facteurs premiers au groupe des éléments inversibles près. Les idéaux fournissent un équivalent de ce théorème, permettant de résoudre certaines équations diophantiennes ou d'établir des lois de réciprocités équivalentes à la loi de réciprocité quadratique établie par Gauss .

Les idéaux disposent d'une multiplication (La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire...), cette opération est associative et il existe un élément neutre constitué de l'anneau tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...) entier. En revanche, le manque d'inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de...) empêche de munir l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection...) des idéaux d'une structure de groupe. Dans le cas des anneaux d'entiers, la structure possède toutes les bonnes propriétés pour offrir un contournement. Cette configuration est axiomatisée dans la définition d'un anneau de Dedekind (En mathématiques, un anneau de Dedekind est un anneau disposant de propriétés...). Dans un premier temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le...) l'anneau est plongé dans son corps des fractions, puis la notion d'idéal est généralisée. Un idéal fractionnaire est l'analogue d'un idéal dans le corps des fractions.

Cette notion est aussi utilisée en géométrie algébrique (La géométrie algébrique est un domaine des mathématiques qui, historiquement,...).

Histoire

Ernst Kummer met en évidence le concept de nombre idéal à l'origine des notions d'idéaux et d'idéaux fractionnaires de Richard Dedekind.

Une tentative de Leonhard Euler (Leonhard Paul Euler, né le 15 avril 1707 à Bâle et mort le...) pour résoudre le dernier théorème de Fermat si n est égal à 3, l'amène à considérer les nombres de la forme a + b.i.√3, où a et b sont des entiers naturels et i l'unité imaginaire. La preuve s'avère fausse, un tel anneau n'est pas factoriel, c'est-à-dire qu'il n'existe pas une unique manière de factoriser un nombre à l'aide de facteurs premiers. Par exemple, 4 est à la fois le carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses...) de l'entier 2 et le produit (1 + i.√3).(1 - i.√3). Si la mise en œuvre est un peu maladroite, l'idée s'avère bonne, Gauss le montre en étudiant l'anneau des entiers de la forme a + i.b, ici a et b sont des entiers naturels. Il est euclidien et dispose d'une bonne factorisation. Ferdinand Eisenstein découvre le bon anneau d (L'anneau D est un anneau planétaire situé autour de Saturne, le plus interne des anneaux...)'entiers pour rendre rigoureuse la démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir...) d'Euler. Il est composé des nombres de la forme a + j.b, où j désigne une racine cubique (En mathématiques, la racine cubique d'un nombre réel y est l'unique nombre x qui, élevé à la...) de l'unité, il s'avère aussi être euclidien. Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet utilise une astuce pour initialiser la démonstration le grand théorème de Fermat pour n égal à 5, il considère l'anneau des entiers de la forme a + b.√5. Si l'anneau reste euclidien, le groupe des unités devient plus complexe. Cette complexité (La complexité est une notion utilisée en philosophie, épistémologie (par...), qualifiée par Dirichlet d'obstruction est une première difficulté pour la résolution des équations diophantiennes.

Dans le cas général, il est vain d'espérer trouver trouver une structure euclidienne pour les anneaux d'entiers. Ernst Kummer en comprend la raison profonde, qu'il qualifie de deuxième obstruction. Les équivalents des nombres entiers, sur les anneaux d'entiers algébriques ne sont pas assez nombreux. Il ajoute en conséquence ce qu'il appelle des nombres idéaux. Cette découverte lui permet de démontrer le grand théorème de Fermat pour toutes les valeurs de n inférieures à 100 à l'exception de 37, 59 et 67.

Kummer analyse les entiers algébriques du corps Qn], où ζn désigne une racine primitive de l'unité, structure maintenant appelée extension cyclotomique. Richard Dedekind et Leopold Kronecker cherchent à généraliser la théorie à toute extension finie des nombres rationnels. Leurs approches sont opposées : Kronecker s'inscrit dans la tradition calculatoire, instaurée par Gauss et suivie par Kummer, tandis que Dedekind cherche une théorie fondée sur les caractéristiques structurelles des anneaux d'entiers, quitte à ne pas disposer d'algorithme effectif. Cette philosophie l'amène à réécrire quatre fois son traité de la théorie des nombres (Traditionnellement, la théorie des nombres est une branche des mathématiques qui s'occupe...). La version de 1876 contient la définition moderne d'idéal et d'idéal fractionnaire. Son approche abstraite le pousse (Pousse est le nom donné à une course automobile illégale à la Réunion.) à étudier la structure algébrique (En mathématiques, plus particulièrement en algèbre, une structure algébrique...) des idéaux, et particulièrement leur multiplication. L'adjonction des idéaux fractionnaires assure l'existence d'un inverse. La dernière version de son traité, datée de 1894, montre en toute généralité et sous sa forme moderne l'unicité de la décomposition (En biologie, la décomposition est le processus par lequel des corps organisés, qu'ils...) remplaçant le théorème fondamental de l'arithmétique.

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