Limite (mathématiques) - Définition

Espaces métriques

Les nombres réels forment un espace métrique si nous utilisons la fonction distance définie par la valeur absolue : d(x,y) = |x - y|. Il en est de même des nombres complexes avec le module. De plus, l'espace euclidien Rⁿ forme un espace métrique avec la distance euclidienne. Voici quelques exemples motivant une généralisation des définitions de limite données précédemment.

Si (x_n) est une suite dans un espace métrique (M, d), alors on dit que la suite a une limite L si par définition pour tout réel ε>0 il existe un entier naturel n₀ tel que pour tout entier n>n₀ on ait d(x_n, L) < ε.

Si l'espace métrique (M, d) est complet (ce qui est le cas pour l'ensemble des nombres réels ou complexes et l'espace euclidien, et tout autre espace de Banach, alors on peut établir la convergence d'une suite de M en montrant que c'est une suite de Cauchy. L'avantage de cette approche est de pouvoir montrer que la suite est convergente sans nécessairement connaître la limite à l'avance.

Si M est un espace vectoriel normé réel ou complexe, alors l'opération de passage à la limite est linéaire, comme nous l'avons expliqué ci-dessus dans le cas des suites de nombres réels.

Maintenant supposons que f : M → N soit une application entre deux espaces métriques, et que p soit un élément de M et L un élément de N. On dit que la limite de f(x) quand x tend vers p est égale à L et on écrit :

si par définition :

pour tout réel ε > 0 il existe un réel δ > 0 tel que pour tout x dans M tel que d(x, p) < δ, on ait d(f(x), L) < ε.

Ce qui est équivalent à

pour toute suite convergente (x_n) de M telle que la limite soit égale à p, la suite (f(x_n)) est convergente de limite L.

Une fonction f est continue en p si et seulement si la limite de f(x) quand x tend vers p existe et est égale à f(p). De manière équivalente, f transforme toute suite de M convergente de limite p en une suite de N convergente de limite f(p).

À nouveau, si N est un espace vectoriel normé, alors l'opération de passage à la limite est linéaire dans le sens suivant : si la limite de f(x) quand x tend vers p est égale à L et la limite de g(x) quand x tend vers p est égale à P, alors la limite de f(x) + g(x) quand x tend vers p est égale à L + P. Si a est un scalaire du corps de base, alors la limite de af(x) quand x tend vers p est égale à aL.

Si N est égal à R, alors nous pouvons définir des limites infinies; si M est égal à R, alors nous pouvons définir des limites à droite et à gauche de manière analogue aux définitions précédentes.

Exemples

• Si z est un nombre complexe de module |z| < 1, alors la suite ( z, z², z³, ...) de nombres complexes converge et a pour limite 0. Géométriquement, ces nombres se rapprochent de l'origine en suivant une spirale logarithmique.
• Dans l'espace métrique de toutes les fonctions continues définies sur l'intervalle [a,b], muni de la distance de la convergence uniforme, tout élément peut être écrit comme limite d'une suite de fonctions polynomiales. C'est ce qu'affirme le théorème de Stone-Weierstrass.

Propriétés

Théorème de la continuité séquentielle:

Une fonction f : R → R est continue en un point L si et seulement si :

pour toute suite réelle (x_n) convergente de limite L, la suite (f(x_n)) est convergente de limite f(L).

Une sous-suite (ou suite extraite) de la suite (x_n) est une suite de la forme (x_a(n)) où les a(n) sont des entiers naturels tels que pour tout n on ait a(n) < a(n+1). Intuitivement, une sous-suite s'obtient à partir de la suite initiale en omettant certains termes. Une suite est convergente si et seulement si toutes ses sous-suites sont convergentes et ont même limite.

L'opération de passage à la limite est linéaire dans le sens suivant : si (x_n) et (y_n) sont des suites réelles convergentes et que lim x_n = L et lim y_n = P, alors la suite (x_n + y_n) est aussi convergente et a pour limite L + P. Si a est un nombre réel, alors la suite (a x_n) est convergente de limite aL. Ainsi, l'ensemble c de toutes les suites réelles convergentes est un espace vectoriel réel et l'opération de passage à la limite est une forme linéaire sur c à valeurs réelles.

Si (x_n) et (y_n) sont des suites réelles convergentes de limites respectives L et P, alors la suite (x_ny_n) est convergente de limite LP. Si ni P ni aucun des termes y_n n'est nul, alors la suite (x_n/y_n) est convergente de limite L/P.

Toute suite convergente est une suite de Cauchy et est ainsi bornée. Si (x_n) est une suite de réels, bornée et croissante (i.e. pour tout entier n, x_n ≤ x_n+1), alors elle est nécessairement convergente.

Toute suite de Cauchy de nombres réels est convergente, ou plus simplement : l'ensemble des réels est complet.

Une suite de nombres réels est convergente si et seulement si ses limites inférieures et supérieures sont finies et égales.

Généralisations pour les espaces topologiques

Toutes les notions de limite ci-dessus peuvent être unifiées et généralisées à un espace topologique arbitraire en introduisant les filtres et leur limite.

Néanmoins la définition de limite pour le cas particulier des suites (indexées par ) est relativement simple :

• Une suite converge vers une limite u si et seulement si pour tout voisinage V de u, il existe un entier naturel N tel que .

On peut donner une définition équivalente à l'aide des bases de voisinages :

• Etant donné , une base de voisinages de u, une suite converge vers u si et seulement si pour tout , il existe un entier naturel N tel que .

Cette définition peut aussi être reformulée en termes d'ouverts :

• Une suite converge vers une limite u si et seulement si pour tout ouvert O contenant u, il existe un entier naturel N tel que .