Limite (mathématiques) - Définition

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- Introduction - Limite d'une suite de nombres réels - Espaces métriques - Limite d'une fonction en un point

Introduction

En mathématiques, rechercher la limite d'une suite ou d'une fonction, c'est déterminer si cette suite ou cette fonction s'approche d'une valeur particulière lorsque la variable prend des valeurs extrêmes. Dans cette définition très intuitive, deux notions restent à définir avec précision : la notion de « s'approcher » et celle de « valeur extrême ».

Historiquement, les mathématiques se sont d'abord intéressées aux limites de suites : on cherchait à savoir si, pour les grandes valeurs de l'indice, les termes de la suite se rapprochaient d'une valeur particulière, c'est-à-dire si, à partir d'un certain rang, on était aussi proche que l'on veut de cette valeur particulière. La notion de proximité est liée à une distance qui dans R est définie par la valeur absolue d'une différence, mais cette notion peut se généraliser à tout espace métrique. Plus tard, la notion s'est étendue aux espaces topologiques et « être proche » signifie alors « être dans un voisinage arbitrairement choisi ».

Ensuite est intervenue la notion de limite de fonction, initialement rattachée à la limite de suite. Pour chercher la limite d'une fonction quand la variable s'approche de a, on cherchait à déterminer la limite de la suite (f(u_n)) pour toute suite (u_n) dont la limite était a. La complexité de cette approche et la multiplicité des cas ont conduit à définir la notion de limite de fonction indépendamment de celle de limite de suite. Pour pouvoir manipuler la notion de limite et l'exploiter sans erreur, il a été nécessaire de la définir de manière plus précise et plus formelle. C'est ainsi que cet article présente une définition formelle de la limite d'une suite convergente, de la limite d'une fonction à valeurs dans R, la notion de limite infinie, et présente le cas de l'espace métrique et de l'espace topologique.

Voir aussi, pour une présentation plus abordable, l'article limite dans la série Mathématiques élémentaires.

Limite d'une suite de nombres réels

Supposons que (x₁, x₂, ...) soit une suite de nombres réels. On dit que cette suite est convergente si, par définition :

il existe un réel L tel que pour tout réel ε>0 il existe un entier naturel n₀ (qui dépend de ε) tel que pour tout entier n>n₀ on ait |x_n - L| < ε. Ce qui s'écrit :

$\forall \varepsilon>0, \exists n_0,\ \forall n \geq n_0,\ L-\varepsilon < u_n < L+\varepsilon\quad$ ou bien encore, ce qui revient au même

$\forall \varepsilon>0, \exists n_0,\ \forall n \geq n_0,\ |{u_n - L}| < \varepsilon$

Intuitivement, cela signifie que tous les termes de la suite deviennent aussi proches que l'on veut d'un réel L, dès que n est assez grand; la valeur absolue |x_n - L| peut être interprétée comme la distance entre x_n et L.

On démontre que, pour une suite convergente, le réel L de la définition est unique. Ce réel L est appelé la limite de cette suite et on écrit :

ou encore, en considérant $x$ comme la fonction $n\mapsto x_n$ , on peut écrire $\lim_{+\infty} x = L$ .

Par contre, il est recommandé d'éviter des notations hybrides, du genre $\lim x_n = L$ dans laquelle l'indice muet n'est pas clairement identifié. On pourrait considérer que c'est n qui est fixé et x qui tend vers quelque chose, en un sens à définir.

Toutes les suites ne sont pas convergentes et, dans le cas où une suite n'est pas convergente, elle est dite non convergente ou divergente. Certains préfèrent réserver le terme divergent aux suites non convergentes non bornées.

Limite (mathématiques) - Définition

Introduction

Limite d'une suite de nombres réels

Exemples