Mathématiques indiennes - Définition

Mathématiques de l'époque védique (-1500 à -400)

L'articulation entre la civilisation de la vallée de l'Indus et la civilisation védique est mal connue. La théorie de l'invasion aryenne y voyait initialement le résultat d'une invasion violente et subite. La grande majorité des historiens lui préfère maintenant la théorie d'une migration progressive des Aryens en provenance d'Asie centrale. Quelques-uns (souvent indiens) soutiennent en revanche le caractère autochtone des aryens et identifient les deux civilisations.

Les textes védiques sont des textes religieux écrits en sanskrit réglementant la taille des autels de sacrifice. Les mathématiques qui y sont présentées sont essentiellement géométriques et sans démonstrations, et s'accompagnent de considérations relevant de l'astronomie et ayant également un caractère religieux. On ignore s'il s'agit de la seule activité mathématique de cette époque ou seulement les traces d'une activité plus générale. Les Vedas contiennent quelques considérations mathématiques, mais la plupart sont regroupées dans les sulba-sutras, ouvrages de géométrie servant d'appendices aux Vedas.

Les Indiens de cette époque utilisent des formes polygonales simples, connaissaient le théorème de Pythagore, savaient construire de manière exacte la quadrature d'un rectangle (construction d'un carré de même aire) et de manière approchée celle du cercle. Ils connaissent les opérations arithmétiques et considèrent des équations simples. On voit apparaître aussi des approximations fractionnaires de π (exactes jusqu'à la première, voire la deuxième décimale) et de la racine carrée de deux (jusqu'à la cinquième décimale).

Vers la fin de cette période, on voit se mettre en place les neuf chiffres du système décimal. La fascination, d'origine religieuse, pour ces chiffres gigantesques, explique sans doute que les Indiens ont eu plus de facilité à appréhender l'idée d'infinité (purna, la plénitude), parallèlement à celle de zéro (śūnya, le vide), qu'ils commencent à faire entrer dans leurs opérations : ainsi dans le Yajur-Veda, quand on soustrait purna de purna il reste toujours purna.

L'école du Kerala (1300 à 1600)

Une école de mathématiciens-astronomes prospéra pendant trois siècles dans la région du Kerala, dans le sud de l'Inde. Le fondateur en est Madhava de Sangamagrama (v. 1340-1425), qui partage avec Bhaskara la primauté dans l'introduction des concepts de l'analyse moderne. Les travaux de Madhava nous sont surtout connus à travers ceux de ses successeurs, mais ils montrent que le geste fondamental de l'analyse, le passage à la limite, s'est opéré.

On trouve notamment dans le Yuktibhasa, rédigé par Jyesthadeva, des développements de fonctions sous forme de séries, des approximations par séries de Taylor, des tests de convergence pour des séries numériques, des intégrations terme à terme. En conséquence, l'école du Kerala disposera d'approximations très précises de pi (onze décimales), de tables trigonométriques à neuf décimales.

L'usage de la langue locale (le malayalam) fut un obstacle à la diffusion des idées de l'école du Kerala. Il est vraisemblable que la redécouverte des bases de l'analyse en Occident se produisit sans influence indienne mais par le truchement des arabes, même si certains historiens, défendent la théorie d'une transmission par les missionnaires jésuites, eux-mêmes souvent versés en mathématiques et astronomie.

Période classique (400 à 1200)

La période classique est souvent considérée comme l'âge d'or des mathématiques indiennes. Avec des mathématiciens tels que Aryabhata, Varahamihira, Brahmagupta, Mahavira et Bhaskara, elle fut une période d'intense rayonnement en direction de l'Orient et du monde islamique.

Les avancées durant cette période eurent lieu dans le domaine des systèmes d'équations linéaires et quadratiques, de la trigonométrie, avec l'apparition des fonctions trigonométriques et des tables permettant de les calculer. De nombreux travaux portent sur des équations polynomiales de degrés divers, ou sur des problèmes d'astronomie tels que les calculs d'éclipses.

Avec Brahmagupta (598-668) et son ouvrage célèbre, le Brahmasphutasiddhanta, les différentes facettes du zéro, chiffre et nombre, sont parfaitement comprises et la construction du système de numération décimal parachevée. Les nombres négatifs sont également introduits, ainsi que les racines carrées.

La période s'achève avec le mathématicien Bhaskara Acharya (1114-1185) qui écrivit plusieurs traités importants. On y trouve des équations polynomiales, des formules de trigonométrie, dont les formules d'addition. Certains auteurs font de Bhaskara un des pères de l'analyse puisqu'il introduisit plusieurs éléments relevant du calcul différentiel : nombre dérivé, différentiation et application aux extrema, et même une première forme du théorème de Rolle. Ces percées seront reprises et amplifiées par les mathématiciens de l'école du Kerala.