Modèle d'Einstein - Définition
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Introduction
En physique statistique et en physique du solide, le modèle d’Einstein est un modèle permettant de décrire la contribution des vibrations du réseau à la capacité calorifique d’un solide cristallin. Il est basé sur les hypothèses suivantes :
- chaque atome de la structure est un oscillateur harmonique quantique 3D,
- les atomes vibrent à la même fréquence, contrairement au modèle de Debye.
Ce modèle est nommé d’après Albert Einstein, qui l'a proposé en 1907.
Énergie interne
Les vibrations du réseau cristallin sont quantifiées, c’est-à-dire que les énergies de chaque mode normal de vibration ne peuvent prendre que des valeurs discrètes
L’énergie interne U du solide est donnée par la formule :
où ℏ est la constante de Planck réduite, ω est la pulsation d’un oscillateur, N le nombre d’atomes qui constituent le système et
L’énergie d’un oscillateur harmonique à une dimension vibrant à la fréquence
où n est un nombre quantique
On calcule la fonction de partition d’un oscillateur harmonique quantique qui est donnée par la relation :
où kB est la constante de Boltzmann, T la température absolue et j est un état de l’oscillateur. Il y a un seul état par niveau d’énergie ; la somme devient donc :
En appliquant la formule de la somme d’une suite géométrique, on simplifie la fonction de partition :
On obtient alors l’énergie d’un oscillateur :
avec
On remarque au passage que
Résultats du modèle
Le modèle d’Einstein retrouve la loi de Dulong et Petit, pour les hautes températures :
Cependant, à basse température, ce modèle concorde moins avec les mesures expérimentales que celui de Debye :
Lorsque
Cette discordance avec l’expérience peut s’expliquer en abandonnant l’hypothèse selon laquelle les oscillateurs harmoniques vibrent à la même fréquence.
Capacité calorifique
La capacité calorifique CV est définie par :
avec
On peut définir la température d’Einstein comme
![C_V\left(T\right) = 3Nk_B\cdot\left(\frac{\Theta_E}{T}\right)^2\cdot\frac{\exp\left(\frac{\Theta_E}{T}\right)}{\left[\exp\left(\frac{\Theta_E}{T}\right)-1\right]^2}](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/c/c49cda319d9278b01ec813164c1e3142_699bc8af6605af60dc67d9b53ff7bd2f.png)
