Oscillateur harmonique quantique - Définition

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- Introduction - L'oscillateur harmonique classique à une dimension - Généralisation à trois dimensions - L'oscillateur harmonique quantique à une dimension - Oscillateur anharmonique

Introduction

Un oscillateur est un système périodique dans le temps. L'harmonicité indique que l'on considère le potentiel associé comme une parabole. Cette approximation est justifiée dans la plupart des cas, à condition que l'amplitude de l'oscillation ne soit pas trop élevée. C'est pour cela que le concept d'oscillateur harmonique joue un rôle majeur dans de nombreuses applications de la physique.
La mécanique quantique a révolutionné un grand nombre de concepts fondamentaux. L'oscillateur harmonique a aussi subi une reformulation dans ce cadre quantique, ce qui a permis d'élucider plusieurs résultats expérimentaux, notamment en physique de la matière condensée.

L'oscillateur harmonique classique à une dimension

Un oscillateur harmonique classique à une dimension est modélisé par un potentiel parabolique, typiquement :

$V(x) = \frac{1}{2}m\omega^2 x^2$

On prouve alors facilement qu'une particule de masse $m$ dans ce potentiel a un mouvement sinusoïdal de pulsation $ω$ .

Généralisation à trois dimensions

Ces calculs pour une seule dimension se généralisent très bien à 3 dimensions. L'hamiltonien est alors simplement sous la forme d'une somme de trois hamiltoniens indépendants, qui sont donc étudiables séparement exactement comme nous l'avons fait précédemment.

Les énergies accessibles par l'oscillateur sont :

avec $n = n x + n y + n z$ : l'énergie dépend de trois nombres quantiques indépendants. Pour une même énergie, il va donc être possible d'imaginer des configurations différentes : les niveaux d'énergie sont dégénérés.

On calcule le nombre de dégénérescences pour le n-ième niveau d'énergie : $g_{n} = \frac{(n+1)(n+2)}{2}$

L'oscillateur harmonique quantique à une dimension

Position du problème

Pour faire une étude quantique de ce type d'oscillateurs, il faut écrire l'opérateur hamiltonien correspondant :

$\widehat{\textbf{\textit{H}}}=\frac{\widehat{\textbf{\textit{p}}}_{x}^2}{2m} + \frac{1}{2}m \omega^2 \widehat{\textbf{\textit{x}}}^2$

où $\widehat{\textbf{\textit{p}}}_{x}$ est la composante sur l'axe $x$ de l'opérateur impulsion de la particule.

Il faut alors résoudre l'équation de Schrödinger indépendante du temps associée à cet hamiltonien :

$\widehat{\textbf{\textit{H}}}\left | \psi (x) \right \rangle = E\left | \psi (x) \right \rangle$ où $E$ est l'énergie associée à une fonction d'onde $\left | \psi (x) \right \rangle$ .

On peut déjà formuler quelques remarques :

Comme V est positif ou nul, alors les valeurs propres $E$ seront positives ou nulles.
Le confinement de la particule dans ce potentiel indique que le spectre de ces énergies sera discret.
Le système ne fait apparaître qu'un seul degré de liberté, il y aura donc un seul nombre quantique.

Simplification de l'hamiltonien

Pour simplifier l'écriture de $\widehat{\textbf{\textit{H}}}$ , on pose les opérateurs suivants :

$\widehat{\boldsymbol{\mathcal{H}}}=\frac{\widehat{\textbf{\textit{H}}}}{\hbar\omega}, \widehat{\textbf{\textit{P}}}=\frac{\widehat{\textbf{\textit{p}}}_{x}}{\sqrt{m\hbar\omega}}$ , et $\widehat{\textbf{\textit{X}}}=\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}} \widehat{\textbf{\textit{x}}}$

( $\hbar$ est la constante de Planck réduite).

Cela nous permet de réécrire l'hamiltonien sous la forme simple : $\widehat{\boldsymbol{\mathcal{H}}}=\frac{1}{2}\left(\widehat{\textbf{\textit{X}}}^2+\widehat{\textbf{\textit{P}}}^2 \right)$ .

On définit alors un nouvel opérateur :

Remarques :

$\left[ \widehat{\textbf{\textit{X}}},\widehat{\textbf{\textit{P}}} \right] = \frac{1}{\hbar}\left[ \widehat{\textbf{\textit{x}}} , \widehat{\textbf{\textit{p}}}_{x} \right] = i\widehat{\textbf{1}}$
$\widehat{\textbf{\textit{a}}}$ n'est pas un opérateur hermitien $\left( \widehat{\textbf{\textit{a}}}^{\dagger} \ne \widehat{\textbf{\textit{a}}} \right)$ .
Cependant, on a le commutateur : $\left[ \widehat{\textbf{\textit{a}}},\widehat{\textbf{\textit{a}}}^{\dagger} \right]=\widehat{\textbf{1}}$ .
On démontre facilement : $\widehat{\textbf{\textit{X}}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\widehat{\textbf{\textit{a}}}^\dagger+\widehat{\textbf{\textit{a}}} \right)$ , $\widehat{\textbf{\textit{P}}}=i\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\widehat{\textbf{\textit{a}}}^{\dagger}-\widehat{\textbf{\textit{a}}}\right)$ et $\widehat{\textbf{\textit{a}}}^{\dagger} \widehat{\textbf{\textit{a}}}= \frac{1}{2}\left(\widehat{\textbf{\textit{X}}}^2+\widehat{\textbf{\textit{P}}}^2\right) -\frac{1}{2}$ .

Cela donne finalement l'écriture simplifiée de l'hamiltonien :

Calcul des valeurs propres

Les valeurs propres $\mathcal{E}$ de l'hamiltonien $\widehat{\boldsymbol{\mathcal{H}}}$ vérifient, par définition, l'équation : $\widehat{\boldsymbol{\mathcal{H}}}\left | \psi (t) \right \rangle = \mathcal{E}\left | \psi (t) \right \rangle$ .
On développe plusieurs points :

Les valeurs propres $n$ de l'opérateur $\widehat{\textbf{\textit{a}}}^\dagger \widehat{\textbf{\textit{a}}}$ sont positives ou nulles.
Si $n$ est une valeur propre associée au vecteur propre $\left | n \right \rangle$ , alors $n - 1$ est aussi valeur propre associée au vecteur $\widehat{\textbf{\textit{a}}} \left | n \right \rangle$ . Cela donne alors $\widehat{\textbf{\textit{a}}} \left | n \right \rangle=\sqrt{n}\left | n-1 \right \rangle$ .
De même, $\widehat{\textbf{\textit{a}}}^\dagger\left | n \right \rangle=\sqrt{n+1}\left | n+1 \right \rangle$ .
$n$ doit être entier.

Les résultats précédents donnent alors :

Les énergies accessibles par l'oscillateur sont :

Ainsi, les énergies accessibles par l'oscillateur sont quantifiées. Ce résultat a de nombreuses répercussions en physique statistique par exemple.

Calcul des états propres

On vérifie que pour l'état fondamental on a l'équation suivante : $\widehat{\textbf{\textit{a}}} \left | 0 \right \rangle = 0$
On repasse par la définition de $a$ pour trouver $\left(\frac{m \omega}{\hbar} x + \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\right)\Psi_{0}(x) = 0$
On résout cette équation différentielle : $\Psi_{0}(x) = C_{0} \exp\left(- \frac{m \omega x^{2}}{2 \hbar}\right)$
En normalisant ce résultat, on trouve $C_{0} = \left(\frac{m \omega}{\pi \hbar}\right)^{\frac{1}{4}}$
Les solutions étant proportionnelles entre elles, on en déduit que cet état fondamental est non dégénéré.
Une démonstration par récurrence montre que les états propres de $\widehat{\textbf{\textit{a}}}^\dagger \widehat{\textbf{\textit{a}}}$ s'écrivent : $|n>=\frac{1}{\sqrt{n!}}\left(\widehat{\textbf{\textit{a}}}^\dagger \right)^n |0>$ .
Ce qui nous donne $\Psi_{n}(x) = \frac{1}{\sqrt{2^{n} n!}} \left( \sqrt{\frac{m \omega}{\hbar}} x - \sqrt{\frac{\hbar}{m \omega}}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \right) ^{n} \Psi_{0}(x)$

Cette dernière équation nous permet de retrouver explicitement autant de fonctions d'ondes que l'on désire. Par exemple pour $n=1\,$ on obtient :
$\Psi_{1}(x) = \left( \frac{4}{\pi} \left( \frac{m \omega}{\hbar} \right )^{3} \right )^{\frac{1}{4}} x \exp \left( -\frac{1}{2} \frac{m \omega}{\hbar} x^{2} \right)$

Représentation matricielle

La matrice représentative de l'hamiltonien $\widehat{\textbf{\textit{H}}}$ sur la base des $\vert n \rangle$ est, par construction, diagonale.

On a $\widehat{\textbf{\textit{H}}}= \hbar \omega \begin{pmatrix} 1/2 & 0 & 0 &\cdots \\ 0 & 1+1/2 & 0 &\cdots \\ 0 & 0 & 2+1/2 &\cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots &\ddots \end{pmatrix}$

Sachant que $\widehat{\textbf{\textit{a}}}^{\dagger} \vert n \rangle = \sqrt{n+1} \vert n+1 \rangle$ , en multipliant à gauche par $\vert k \rangle$ il vient $\widehat{\textbf{\textit{a}}}^{\dagger}_{k,n}=\sqrt{n+1} \langle k \vert n+1 \rangle = \sqrt{n+1} \delta_{k,n+1}$

La matrice représentative de $\widehat{\textbf{\textit{a}}}^{\dagger}$ sur la base des $\vert n \rangle$ est donc $\widehat{\textbf{\textit{a}}}^{\dagger}= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots \\ 1 & 0 & 0 & 0 & \cdots \\ 0 & \sqrt{2} & 0 & 0 &\cdots \\ 0 & 0 & \sqrt{3} & 0 & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots &\ddots \end{pmatrix}$

Puisque $\widehat{\textbf{\textit{a}}}_{k,n}=\widehat{\textbf{\textit{a}}}^{\dagger}_{n,k}$ , la matrice $\widehat{\textbf{\textit{a}}}$ est construite en transposant $\widehat{\textbf{\textit{a}}}^{\dagger}$ : $\widehat{\textbf{\textit{a}}}= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & \cdots \\ 0 & 0 & \sqrt{2} & 0 & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & \sqrt{3} &\cdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots &\ddots \end{pmatrix}$

Il est alors facile de construire les matrices représentatives des observables $\widehat{\textbf{\textit{x}}}$ et $\widehat{\textbf{\textit{p}}}$ puisque :

$\widehat{\textbf{\textit{x}}}=\sqrt{\dfrac{\hbar}{m\omega}} \widehat{\textbf{\textit{X}}}= \sqrt{\dfrac{\hbar}{2m\omega}} \left(\widehat{\textbf{\textit{a}}} + \widehat{\textbf{\textit{a}}}^{\dagger}\right)$ et $\widehat{\textbf{\textit{p}}}=\sqrt{\hbar m\omega}\widehat{\textbf{\textit{P}}}=-i\sqrt{\dfrac{\hbar m\omega}{2}}\left(\widehat{\textbf{\textit{a}}} - \widehat{\textbf{\textit{a}}}^{\dagger}\right)$

donc $\widehat{\textbf{\textit{x}}}= \sqrt{\dfrac{\hbar}{2m\omega}} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & \cdots \\ 1 & 0 & \sqrt{2} & 0 & \cdots \\ 0 & \sqrt{2} & 0 & \sqrt{3} &\cdots \\ 0 & 0 & \sqrt{3} & 0 & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots &\ddots \end{pmatrix}$ et $\widehat{\textbf{\textit{p}}}= \sqrt{\dfrac{\hbar m\omega}{2}} \begin{pmatrix} 0 & -i & 0 & 0 & \cdots \\ i & 0 & -i\sqrt{2} & 0 & \cdots \\ 0 & i\sqrt{2} & 0 & -i\sqrt{3} &\cdots \\ 0 & 0 & i\sqrt{3} & 0 & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots &\ddots \end{pmatrix}$

Interprétation

Densité de probabilité |ψ_n(x)|² pour les premières valeurs de l'énergie, en commençant par le fondamental (n = 0) en bas puis en augmentant la valeur de l'énergie en montant. L'axe horizontal correspond à la coordonnée x, les couleurs plus claires indiquent une densité de probabilité plus forte.

En analysant ces fonctions d'ondes, on retrouve de nombreux résultats classiques : la particule dans le puits de potentiel a une probabilité de présence plus élargie si elle a une énergie plus haute (une bille au fond d'un puits va monter plus haut sur les bords si elle a plus d'énergie), la particule a plus de chance de se retrouver sur ces positions éloignées du centre du puits (la bille a une vitesse d'autant plus petite qu'elle est haut dans le puits : elle va donc passer beaucoup plus de temps en hauteur qu'au fond du puits).

États cohérents

D'autres états présentent un intérêt physique. Voir à État cohérent.

Applications

Pour tous les calculs où des particules sont dans un puits de potentiel, l'approximation harmonique est très intéressante (en effet, on remarque que le développement limité à l'ordre 2 d'un puits nous donne une parabole). Par exemple si l'on souhaite étudier un "piège harmonique" à deux dimensions (condensation de Bose-Einstein à 2D) on pourra poser le hamiltonien suivant pour débuter l'étude: $\widehat{\textbf{\textit{H}}} = \left( \frac{\widehat{\textbf{\textit{p}}}_{x}^2+\widehat{\textbf{\textit{p}}}_{y}^2}{2m} + {1\over 2} m \omega^2 \left(\widehat{\textbf{\textit{x}}}^2+\widehat{\textbf{\textit{y}}}^2 \right) \right)$

Oscillateur anharmonique

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