Nombre cardinal - Définition

Cardinal fini

Le cardinal d'un ensemble fini correspond donc simplement au nombre d'éléments qu'il contient. Par exemple, card({1,2,5}) = 3.

Toute partie d'un ensemble fini est finie.

Propriétés générales

Si f est une fonction de A dans B, alors .

Théorème fondamental

Il n'existe pas de surjection d'un ensemble E sur l'ensemble de ses parties . Un ensemble n'est donc jamais équipotent à l'ensemble de ses parties, bien qu'il s'injecte dedans par l'ensemble des singletons de ses éléments, ce qui permet d'écrire :

.

C'est le théorème de Cantor.

Ce résultat justifie le fait qu'il existe différents nombres cardinaux infinis. Il donne même un procédé de construction d'une infinité d'entre eux par itération de la fonction ensemble des parties.

Les cardinaux infinis sont représentés au moyen de la lettre hébraïque aleph . Le plus petit cardinal infini est . C'est le cardinal de l'ensemble des entiers naturels, qui est également désigné en tant que nombre ordinal par ω. Le cardinal immédiatement supérieur est , etc. D'une manière générale, un cardinal quelconque peut toujours s'écrire , où α est un ordinal ; la réciproque (le fait que pour tout ordinal α, on puisse construire un cardinal ) se démontre par récurrence transfinie, et ne nécessite pas l'axiome du choix ; dans cette démonstration intervient de manière essentielle le théorème de Cantor (pour construire à partir de ), et le fait que la réunion d'une famille de cardinaux donne un cardinal égal ou supérieur à chacun d'entre eux.

Cardinal inaccessible

L'accessibilité est la possibilité d'atteindre un ordinal ou un cardinal donné à partir des ordinaux plus petits.
Un ordinal α est dit cofinal avec un ordinal β inférieur s'il existe une application strictement croissante f de β dans α tel que α soit la limite de f au sens suivant :

Par exemple, n'est cofinal avec aucun ordinal strictement plus petit, puisqu'un ordinal inférieur à est un entier n = {0,1,...,n − 1} et qu'une application strictement croissante définie sur {0,1,...,n − 1} est bornée. Le cardinal est dit alors régulier, c'est le cas de tous les cardinaux successeurs.

Par contre, le cardinal est cofinal avec ω au moyen de l'application .
Ce cardinal est dit alors singulier.

En notant cf(α) le plus petit ordinal pour lequel α est cofinal, on obtient .

Les cardinaux se classent alors comme suit :

• ceux de la forme , indexés par un ordinal α + 1 successeur d'un ordinal α ;
• ceux de la forme , indexés par un ordinal α limite et qui sont singuliers ;
• ceux de la forme , indexés par un ordinal α limite et qui sont réguliers.

Ce dernier type de cardinal est qualifié de faiblement inaccessibles car ils ne peuvent être construits à partir de cardinaux plus petits. On distingue parmi eux les cardinaux fortement inaccessibles qui vérifient de plus . L'existence de tels cardinaux ne peut se déduire des axiomes de la théorie des ensembles ZFC ; ces cardinaux, et d'autres satisfaisant la même condition, sont qualifiés pour cette raison de grands cardinaux
Les deux premiers types de cardinaux sont qualifiés au contraire d'accessibles, car on peut les construire (dans ZFC) à partir de cardinaux plus petits qu'eux.

Cardinal infini

Si A est infini alors est noté 2^card(A) par analogie avec le cas fini.

Exemples

• Le cardinal de l'ensemble des nombres réels est le même que celui de l'ensemble des parties de  :

.

Ce cardinal étant égal à celui de , on le note également , dit cardinal du continu.

• Cependant, l'ensemble des entiers naturels et l'ensemble des rationnels sont équipotents.

.

• De même que s'injecte dans pour tout entier k, s'injecte dans , par conséquent le cardinal de est égal à , cardinal de . Démonstration succincte : on montre que [0,1]² s'injecte dans [0,1] (d'où le fait que puis par récurrence s'injecte dans , l'existence d'une bijection provenant du théorème de Cantor-Bernstein). Pour cela, il suffit d'écrire tout élément de [0,1] comme suite de 0 et de 1 (développement binaire). L'image d'un élément de [0,1]² est formé en intercalant successivement chaque chiffre du développement binaire du premier et second nombre. On vérifie facilement que c'est une application injective (en prenant garde toutefois aux problèmes de non unicité du développement binaire). En utilisant un raisonnement similaire, on montre que l'ensemble des suites de réels est de cardinal .
• Le cardinal de l'ensemble des fonctions continues de dans est égal à , cardinal de . Ceci découle de la proposition précédente, car l'ensemble des fonctions réelles continues a au plus la puissance de (et au moins celle du continu).
• Le cardinal de l'ensemble des fonctions de dans est .

Propriétés

• Un ensemble A est infini si et seulement si .
• Si A est infini et si désigne l'ensemble des parties finies de A, alors .
• Si A est infini et B non vide, alors .
• Si B est inclus dans A infini avec card(B) < card(A), alors .
• Si A est infini, alors
• Si A est infini et si , alors où B^A désigne l'ensemble des fonctions de A dans B.