Principe de moindre action et relativité restreinte - Définition

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- Introduction - Avec ou sans quadri-écriture - Cas d'un corps dans un champ électromagnétique - Cas d'un corps libre - Cas d'un champ « de force »

Cas d'un corps dans un champ électromagnétique

Sans la quadri-écriture

Comme dans le cas classique, le lagrangien peut être défini en utilisant un potentiel électromagnétique $(\phi(\vec{q},t), \vec{A}(\vec{q},t))$ :

$L = L(\vec{q},\vec{v},t) = \ -m.c^2.\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} - e\phi(\vec{q},t) + e. \vec{v} \cdot \vec{A}(\vec{q},t)$

En prenant encore $\vec{p} = \frac{m\vec{v}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$ , les équation d'Euler-Lagrange donnent :

ce qui n'est pas une égalité pratique à utiliser car la dérivation de

est laborieuse.

L'impulsion est définie par : $\vec{P} = \frac{ \partial L}{\partial \vec{v}} = \frac{m\vec{v}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} + e.\vec{A} = \vec{p} + e.\vec{A}$

On prendra donc soin de distinguer $\vec{p}$ et $\vec{P}$

L'énergie est définie par : $\ E = \vec{P}.\vec{v} - L$

On obtient : $\ E = \frac{mc^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} + e.\phi$

Et après quelques calculs pour exprimer l'énergie en fonction de l'impulsion : $\ (E-e\phi)^2 = \left(\vec{P} - e.\vec{A}\right)^2.c^2 + m^2.c^4$

Toutes les approximations aux petites vitesses devant $c$ redonnent les résultats classiques.

À partir du potentiel électromagnétique, le premier groupe des équations de Maxwell se démontre sans difficulté : l'équation de Maxwell-Faraday et l'équation de conservation du flux magnétique.

Avec la quadri-écriture

Le champ électromagnétique se manifeste sous forme d'un quadri-vecteur, appelé quadri-potentiel électromagnétique, $\ A^j$ dont l'interaction avec la particule de charge $\ e$ se manifeste sous forme lagrangienne par $\ e.A^j.dx_j$

La définition de l'action relativiste infinitésimale d'un champ électromagnétique est donc $\ L.dt = \ -mc.\sqrt{dx_j.dx^j} - e.A^j.dx_j$ .

On pose $F^{ij} = \partial^i A^j - \partial^j A^i$ tenseur champ électromagnétique.

En prenant $\ t_0$ le temps propre de la particule, les équations d'Euler-Lagrange donnent les équations du mouvement de la particule :

$m. \frac{dV^i}{dt_0} = e.V_j.F^{ij}$

Que l'on peut écrire aussi :

$mc. \frac{dV^i}{ds} = e.V_j.F^{ij}$

En prenant : champ électrique = $\vec{E} = c.\left(F^{01},F^{02},F^{03}\right)$ et champ magnétique = $\vec{B} = \left(F^{23},F^{31},F^{12}\right)$ , on retrouve la force de Lorentz sous son écriture habituelle.

On considère un champ de force dont l'interaction avec la particule de charge $\ e$ se manifeste sous forme lagrangienne par $\ e.A^j.dx_j$

La définition de l'action relativiste infinitésimale d'un champ électromagnétique est $\ L.dt = \ -mc.\sqrt{dx_j.dx^j} - e.A^j.dx_j$ .

En factorisant par $\ dt_0$ un temps paramétrant le système, pas obligatoirement propre, on obtient : $L_0.dt_0 = ( -mc.\sqrt{V_j.V^j} - e.A^j.V_j).dt_0$

Les équations d'Euler-Lagrange relativistes

donnent : $\frac{d~~ }{dt_0} (-mc\frac{2V^i}{2\sqrt{V_j.V^j}}- e.A^i) \ + e\ V_j \frac{\partial A^j}{\partial x_i} \ = \ 0$

En prenant dès maintenant $\ t_0 =$ temps propre, on utilise l'égalité $\sqrt{V^jV_j} = c ~$ qui simplifie la dérivation

(mais on peut dériver avant si on veut plus de cohérence dans le suivi de la méthode), et on a :

$-m. \frac{dV^i}{dt_0} - e.\frac{dA^i}{dt_0} + e. \ V_j \frac{\partial A^j}{\partial x_i} \ = \ 0$

Sachant que $\frac{dA^i}{dt_0} = \frac{\partial A^i}{\partial x_j}. \frac{dx_j}{dt_0} = \partial^j A^i.V_j \ \$ et en posant $F^{ij} = \partial^i A^j - \partial^j A^i$ tenseur champ électromagnétique,

on obtient l'équation du mouvement : $m. \frac{dV^i}{dt_0} = e.V_j.F^{ij}$

On retrouve le cas sans quadri-écriture en factorisant par $\ c.dt$ le temps du référentiel, en prenant

$\ A^0 = A_0 = \frac{\phi}{c}~~$ et $(A^1;A^2;A^3) = - (A_1;A_2;A_3) = - \vec{A}$ .

On se rappelle que la quadri-impulsion, comme l'impulsion, est définie par $P^i = \frac{\partial L_0}{\partial V_i}$

D'où :

Pour

i = 0

, on obtient :

Pour

i = 1;2;3

, de manière similaire au cas i=0, on obtient :

De manière similaire au cas d'un corps libre, la constante

par rapport au temps

est en fait la constante 0, et une petite manipulation permet d'en déduire l'égalité déjà vue

L'invariance de jauge du potentiel et du tenseur électromagnétiques

On remarque que si à la place du quadri-potentiel électromagnétique $\ A^j$ , on a le quadri-potentiel $\ A'^j = A^j + \partial^j \phi$ où $\ \phi$ est une fonction quelconque des coordonnées, alors le lagrangien devient $L' = L + \partial^j \phi.dx_j$ et l'action $S' = S + \int^{t_f}_{t_i}\partial^j \phi.dx_j = S + \phi (x_i(t_f)) - \phi (x_i(t_i))$

En appliquant la méthode variationnelle qui fait varier le chemin en gardant les extrémités fixes, le terme $\ \phi (x_i(t_f)) - \phi (x_i(t_i))$ est éliminé. Donc les deux potentiels $\ A^j$ et $\ A'^j = A^j + \partial^j \phi$ donnent les mêmes équations du mouvement : on appelle cela l'« invariance de jauge ».

On constate d'ailleurs que dans les équations du mouvement, le tenseur électromagnétique, terme représentant l'influence du champ électromagnétique, est bien invariant de jauge : $F'^{ij} = \partial^i A'^j - \partial^j A'^i = \partial^i A^j - \partial^j A^i + \partial^i \partial^j \phi- \partial^j \partial^i \phi = \partial^i A^j - \partial^j A^i = F^{ij}$

par le théorème de Schwarz : $\partial^i \partial^j = \partial^j \partial^i$ .

Avec ou sans quadri-écriture

Cas d'un corps libre

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