Produit direct (groupes)
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Introduction

En mathématiques et plus précisément dans le cadre de la théorie des groupes, le produit direct est une méthode permettant, à partir de plusieurs groupes, d'en construire un nouveau.

Le produit direct correspond à une extension dans le sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une...) où la structure obtenue contient des sous-structures isomorphes à celles définissant le produit. Cette méthode, appliquée aux groupes permet de classifier les trois grands cas de groupes abéliens : ceux fini, ceux de type fini et les groupes de Lie de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une pièce...) finie et ayant un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) fini de composantes connexes.

Dans tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) cet article, n est un entier strictement positif, (G1,*1), (G2,*2) ... (Gn,*n) désignent des groupes, d'éléments neutres respectifs e1, e2, ..., en.

Motivation

Le produit direct correspond à l'opération du produit cartésien avec le transfert de l'opération des groupes. Une généralisation du produit cartésien pour rendre compatible une structure algébrique (En mathématiques, plus particulièrement en algèbre, une structure algébrique est formée d’un ensemble combiné à une ou plusieurs lois de composition, éventuellement complétées par un ordre ou une...) est fréquente, on peut citer par exemple l'espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est une structure algébrique permettant en pratique d'effectuer des combinaisons linéaires. Pour une introduction au concept de vecteur, voir l'article Vecteur.), le module sur un anneau, l'algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche des mathématiques qui étudie, d'une façon générale, les...) sur un corps ou encore dans une moindre mesure (car l'intégrité, si elle existait, disparaît) l'anneau.

Cette approche offre un premier service : le produit direct est un outil (Un outil est un objet finalisé utilisé par un être vivant dans le but d'augmenter son efficacité naturelle dans l'action. Cette augmentation se traduit par la simplification des actions entreprises, par une plus grande...) permettant de construire de nouveaux groupes, il étend ainsi le nombre d'exemples aisément accessibles pour étudier la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative, souvent basée sur...).

Il existe un autre intérêt plus profond, celui de la classification des éléments de la structure étudiée. La classification permet de connaître, pour chaque élément les propriétés exactes dont il bénéficie ainsi que les autres éléments de la structure bénéficiant des mêmes propriétés. Un exemple de classification est celui des espaces vectoriels sur un corps K de dimension finie. La dimension classifie exactement tous ces espaces vectoriels.

Une approche fréquente est celle de l'extension, elle consiste, à partir par exemple d'un groupe, à construire un nouveau groupe contenant le précédent. En ce sens, le produit direct est une extension d'un groupe. Cette méthode, d'extension par produit, est celle utilisée pour les espaces vectoriel et tout espace vectoriel sur K de dimension finie est isomorphe à un produit de l'espace vectoriel K (de dimension un). Plus l'espace des objets construits grâce à l'extension est vaste, plus le champ (Un champ correspond à une notion d'espace défini:) d'application de l'extension est large.

Dans le cas des groupes, le produit direct est une technique d'extension couvrant très largement le cas commutatif. Si le groupe est abélien et possède suffisamment de bonnes propriétés, alors il est produit direct de groupes abéliens de la même catégorie et sa structure est particulièrement simple. Les trois cas les plus importants sont cités dans cet article.

Dans le cas non abélien, d'autres méthodes d'extension sont nécessaires, c'est la raison d'être, par exemple du produit semi-direct.

Propriétés

Propriétés élémentaires

Dans le cas où G1 et G2 sont de cardinaux finis, les propriétés du produit cartésien montrent que :

  • L'ordre de G est égal au produit des ordres de G1 et G2.
  • Si G1 et G2 sont deux groupes abéliens alors leur produit direct l'est aussi.

Cette propriété est une conséquence directe de la définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.). En effet, si G1 et G2 sont deux groupes abéliens :

\forall (x_1,x_2), (y_1,y_2) \in G \quad (x_1,x_2)*(y_1,y_2)=(x_1*y_1,x_2*y_2)=(y_1*x_1,y_2*x_2)=(y_1,y_2)*(x_1,x_2)

Dans le cas général, notons i1 (resp. i2) l'application de G1 (resp. G2) dans G qui à x associe (x, e2) (resp. (e1, x). Le sous-groupe image de i1 (resp. i2) est noté H1 (resp. H2). Enfin l'application s1 (resp. s2) de G dans G1 (resp. G2) est défini par s1(x1, x2) = x1 (resp. s2(x1, x2) = x2).

  • Les applications i1 et i2 sont des morphismes injectifs.
  • Les applications s1 et s2 sont des morphismes surjectifs.
  • Les deux suites suivantes sont des suites exactes.
e_1\xrightarrow{}G_1\xrightarrow{i_1}G=G_1\times G_2\xrightarrow{s_2}G_2\xrightarrow{}e_2 \quad et \quad e_2\xrightarrow{}G_2\xrightarrow{i_2}G=G_1\times G_2\xrightarrow{s_1}G_1\xrightarrow{}e_1

Sous-groupes H1 et H2

Ici, H1 et H2 désignent les sous-groupes G1 x {e} et {e} x G2. Les sous-groupes H1 et H2 possèdent des propriétés caractéristiques d'un produit de groupes :

  • H1 (resp. H2) est un sous-groupe distingué isomorphe à G1 et (resp. G2).

En effet, H1 est l'image de G1 par i1 un morphisme injectif, les deux structures sont donc isomorphes. De plus H1 est le noyau de s2, c'est donc un sous-groupe distingué. Un raisonnement analogue montre le résultat équivalent pour H2.

  • Tout élément de G s'écrit de manière unique comme produit d'un élément de H1 et d'un élément de H2.

Cette proposition est une conséquence immédiate de la définition de produit direct :

\forall x \in G \quad \exists ! (x_1,x_2) \in G=G_1 \times G_2 \quad donc \quad x=(x_1,e_2)*(e_1,x_2)
  • Tout élément de H1 commute avec tout élément de H2.

Par définition un élément de H1 (resp. H2) est de la forme (x1, e2) (resp. (e1, x2)), en conséquence :

\forall (x_1,e_2) \in H_1 \; \forall (e_1,x_2) \in H_2 \quad (x_1,e_2)*(e_1,x_2)=(e_1,x_2)*(x_1,e_2)=(x_1,x_2)
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