Tenseur
Tenseur (mathématiques)
Produit tensoriel
... de deux modules
... de deux applications linéaires
Algèbre tensorielle
Champ tensoriel
Espace tensoriel
Convention d'Einstein
Tenseur métrique
Tenseur énergie-impulsion
Tenseur de Riemann
... de Ricci
... d'Einstein
... de Weyl
... de Levi-Civita
... de Killing
... de Killing-Yano
... de Bel-Robinson
... de Cotton-York
Tenseur électromagnétique
Tenseur des contraintes
Tenseur des déformations
Modules
Algèbre extérieure
Le produit tensoriel de deux modules est une construction en théorie des modules qui à deux modules sur un même anneau assigne un module. C'est une construction abstraite qui est plus simple à assimiler en se limitant dans un premier temps au cas des espaces vectoriels. Le produit tensoriel est très important dans le domaine de la topologie algébrique et de la géométrie algébrique. Le produit tensoriel permet en outre de ramener l'étude d'applications bilinéaires ou multilinéaires à des applications linéaires.
Lorsque M, N et F sont trois modules sur un même anneau commutatif unitaire A, on appelle application bilinéaire une application f : M × N → F, telle que :
Les applications bilinéaires sont des objets mathématiques compliqués, c'est pourquoi on peut être tenté de ramener le problème des applications bilinéaires à celui des applications linéaires. En d'autres termes, existe-t-il un module
On peut prouver qu'un tel couple
Ce qui a été fait précédemment se généralise sans peine aux applications multilinéaires. Soit
Il existe un A-module que l'on note
En fait, le produit tensoriel de deux modules est associatif au sens suivant : si E, F, G sont trois modules sur un anneau commutatif unitaire A, alors les modules
Soit M et N deux modules sur un même anneau commutatif unitaire A. L'espace
On souhaite que les éléments de la forme
soient identifiés comme nuls. On appelle donc D le sous-module de C engendré par les éléments de la forme précédente. On appelle produit tensoriel de M et N, et on note
La construction du produit tensoriel permet d'affirmer que
Montrons que ce module résout bien le problème des applications bilinéaires posé en introduction. Pour cela, donnons-nous une application bilinéaire
Mais, le fait que f soit bilinéaire implique que :
Donc le sous-module D est inclus dans le noyau de f. On déduit par passage au quotient qu'il existe une application
De plus g est unique car les éléments de la forme
Montrons finalement que