Renormalisation - Définition et Explications

Introduction

En théorie quantique des champs (La théorie quantique des champs (QFT, abréviation du terme anglais Quantum field theory)...) (ou QFT), en mécanique (Dans le langage courant, la mécanique est le domaine des machines, moteurs, véhicules, organes...) statistique (La statistique est à la fois une science formelle, une méthode et une technique. Elle...) des champs, dans la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer,...) des structures géométriques autosimilaires, une renormalisation se rapporte à un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection...) de techniques utilisées pour prendre la limite du continu.

Quand on décrit l'espace et le temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le...) comme un continuum, certaines constructions statistiques et quantiques deviennent indéfinies. Pour les définir, il faut prendre des précautions pour passer (Le genre Passer a été créé par le zoologiste français Mathurin Jacques...) à la limite.

La renormalisation détermine la façon de relier les paramètres de la théorie quand ces paramètres à grande échelle (La grande échelle, aussi appelée échelle aérienne ou auto échelle, est un...) diffèrent de leur valeur à petite échelle. La renormalisation a été initialement développée (En géométrie, la développée d'une courbe plane est le lieu de ses centres de...) en électrodynamique quantique (L'électrodynamique quantique relativiste est une théorie physique ayant pour but de concilier...) (QED), en vue (La vue est le sens qui permet d'observer et d'analyser l'environnement par la réception et...) d'interpréter des intégrales divergentes de la théorie des perturbations (D'un point de vue heuristique, la théorie des perturbations est une méthode...). Au début, elle est considérée comme une procédure suspecte et provisoire par certains de ses auteurs. Finalement la renormalisation a été incorporée comme un outil (Un outil est un objet finalisé utilisé par un être vivant dans le but d'augmenter son...) important et logiquement cohérent dans plusieurs domaines de physique et de mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide...).

L'idée majeure de la renormalisation est de corriger le lagrangien (Le lagrangien d'un système dynamique, dont le nom vient de Joseph Louis Lagrange, est une...) original d'une théorie quantique des champs par une série infinie de contre-termes, correspondant aux graphes de Feynman qui codent le développement perturbatif de la théorie. Dans la procédure de renormalisation perturbative, on introduit un contre-terme dans le lagrangien initial pour chaque divergence de graphe (Le mot graphe possède plusieurs significations. Il est notamment employé :) de Feynman. Dans certains cas, tous les contre-termes nécessaires peuvent être obtenus par modification des seuls paramètres du lagrangien initial. Il est alors possible de modifier ces paramètres, en les remplaçant par des séries de contre-termes divergents. Les paramètres initiaux ne sont pas observables, par opposition aux quantités physiques, qui sont finies, et observables. Un des problèmes de la procédure de renormalisation est le traitement systématique (En sciences de la vie et en histoire naturelle, la systématique est la science qui a pour...) dans les graphes à plusieurs boucles des divergences liées à des boucles croisées ou incluses les unes dans les autres.

Auto-interactions en physique classique

Le problème des divergences est apparu tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...) d'abord en électrodynamique (L'électrodynamique est la discipline physique qui étudie et traite des actions dynamiques entre...) classique des particules ponctuelles aux et début du XXe siècles.

La masse (Le terme masse est utilisé pour désigner deux grandeurs attachées à un...) d'une particule chargée doit inclure la masse-énergie de son champ (Un champ correspond à une notion d'espace défini:) électrostatique (L'électrostatique traite des charges électriques immobiles et des forces qu'elles exercent entre...). Supposons que la particule soit une sphère (En mathématiques, et plus précisément en géométrie euclidienne, une...) chargée de rayon re. L'énergie (Dans le sens commun l'énergie désigne tout ce qui permet d'effectuer un travail, fabriquer de la...) de ce champ est, en posant c=1 et ε0=1 :

 m_\mathrm{em} = \int \operatorname{d}V  {1\over 2}E^2 = \int_{r_e}^\infty dr 4\pi r^2\frac{1}{2} \left( {q\over 4\pi r^2} \right) ^2 = {q^2 \over 8\pi r_e}

et elle devient infinie quand re → 0 , ce qui est évidemment absurde (puisque cela impliquerait que la particule ponctuelle ne pourrait pas être accélérée, en raison de sa masse infinie.

En passant, la valeur de re qui rend mem égal à la masse de l'électron (L'électron est une particule élémentaire de la famille des leptons, et possèdant une charge...) est appelée le rayon classique de l'électron, et se trouve α fois la longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus...) d'onde (Une onde est la propagation d'une perturbation produisant sur son passage une variation...) de Compton de l'électron. En remettant tous les multiples de c et de ε0, on peut écrire :

 r_e = {q^2 \over 4\pi\varepsilon_0 m_e c^2} \approx {1\over 137}{\hbar\over m_e c} \approx 2.8 \times 10^{-15} \, \mathrm{m}.

Fig. 1 ─ Renormalisation en QED : la simple interaction (Une interaction est un échange d'information, d'affects ou d'énergie entre deux agents au sein...) électron-photon qui définit la charge (La charge utile (payload en anglais ; la charge payante) représente ce qui est effectivement...) de l'électron à un point (Graphie) de renormalisation se révèle à un autre point composée de plusieurs interactions plus compliquées.

La masse totale effective d'une particule chargée sphérique inclut – outre la masse calculée supra pour le champ électromagnétique (Un champ électromagnétique est la représentation dans l'espace de la force...) – la masse nue de la particule chargée. Si on permet à cette dernière d'être négative, on peut envisager d'un passage cohérent à la limite ponctuelle. Ceci a été appelé renormalisation. Lorentz et (en) Abraham ont essayé de cette manière de mettre au point une théorie classique de l'électron. Ces travaux précoces ont inspiré des essais ultérieurs de régularisation en physique et la renormalisation en QFT.

Quand on calcule les interactions électromagnétiques de particules chargées, il est tentant d'ignorer la rétroaction du champ d'une particule sur elle-même. Mais cette rétroaction est nécessaire pour expliquer le ralentissement (Le signal de ralentissement (de type SNCF) annonce une aiguille (ou plusieurs) en position déviée...) de particules chargées qui rayonnent. Si l'on suppose l'électron ponctuel (En géométrie, un point est le plus petit élément constitutif de l'espace de travail.), la valeur de la rétroaction diverge, pour la même raison que la masse diverge, parce que le champ se comporte comme le carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses...) inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de...) de la distance.

La théorie d'Abraham et Lorentz impliquait une « préaccélération » non causale. Dans certaines configurations, un électron commençait à se déplacer avant que la force (Le mot force peut désigner un pouvoir mécanique sur les choses, et aussi, métaphoriquement, un...) ne soit appliquée. Ceci signalait que la limite ponctuelle n'était pas cohérente. Un corps étendu ne commencera à bouger que quand une force est appliquée sur un point au plus à sa surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a...).

Le problème s'est trouvé pire en théorie classique des champs qu'en QFT, parce que dans cette dernière, à courte distance, une particule se trouve dans une position fluctuante, et on ne peut donc la localiser mieux que dans une région de l'ordre de la longueur d'onde de Compton. En QED (CQFD (ou c.q.f.d.[1]) est l'abréviation de « ce qu'il fallait démontrer », ponctuant,...), à faible couplage, la masse électromagnétique ne diverge que comme le logarithme (En mathématiques, une fonction logarithme est une fonction définie sur à valeurs dans ,...) du rayon de la particule.

Certains physiciens pensent que quand la constante de structure fine (La constante de structure fine, représentée par la lettre grecque α, est une...) est bien plus grande que l'unité, si bien que le rayon classique de l'électron est supérieur à la longueur d'onde de Compton, certains problèmes qui rendent la théorie classique incohérente reviennent en théorie quantique. En effet les problèmes de la théorie classique apparaissent à des distances de l'ordre du rayon classique, mais ils sont dilués par le principe d'incertitude sur une échelle plus grande, celle de la longueur d'onde de Compton. Si la constante de structure fine est plus grande que l'unité, alors c'est la situation (En géographie, la situation est un concept spatial permettant la localisation relative d'un...) inverse qui prévaut : les problèmes de la théorie classique peuvent se manifester avant d'être dilués par les fluctuations quantiques.

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