Représentations du groupe symétrique d'indice quatre - Définition

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Caractère

Les représentations des groupes finis possèdent une propriété simplifiant largement leur analyse, elles sont toutes somme directe de représentation irréductibles. Il suffit donc de connaître toutes les représentations irréductibles pour savoir construire toutes les représentations.

Classe de conjugaison

Les classes de conjugaison ont un rôle important pour les représentations, il existe en effet exactement autant de représentations irréductibles qui ne sont pas équivalentes que de classes de conjugaison.

Comme le montre l'article Groupe symétrique, Les conjuguées d'un élément de S₄ sont les permutations dont la décomposition en produit de cycles à supports disjoints a la même structure que celle de $σ$ : même nombre de cycles de chaque longueur.

Dans le cas de S₄, on en trouve exactement cinq : l'identité, les transpositions de la forme (ab) au nombre de six, les cycles de longueurs trois de la forme (abc) au nombre de huit, les paires de transpositions (ab)(cd) au nombre de trois et les cycles de longueur quatre de la forme (abcd) au nombre de six. On retrouve bien les vingt-quatre éléments du groupe répartis en cinq classes de conjugaison.

Orthogonalité

Le caractère d'une représentation correspond à l'application de S₄ dans C l'ensemble des nombres complexes, qui à un élément s associe la trace de l'automorphisme associé à s par la représentation. Les caractères possèdent des propriétés fortes : ils forment une base de l'espace des fonctions centrales à valeur dans C. Une fonction centrale est une fonction définie sur le groupe et constante sur les classes de conjugaisons. De plus, pour le produit hermitien suivant la famille des caractères irréductibles est une base orthonormale :

$<\chi_1\,|\,\chi_2>=\frac {1}{24} \sum_{s \in S_4} \chi_1(s).\chi_2(s)^*$

Ici, χ_i désignent des fonctions centrales à valeur dans C et a^* désigne le conjugué du nombre complexe a.

Un caractère est irréductible si et seulement si sa norme est égale à un, deux représentations irréductibles sont isomorphes si et seulement si leur produit hermitien est égal à un, dans le cas contraire, le produit est nul. De plus, si d_i pour i variant de 1 à 5 désigne les degrés des différentes représentation irréductibles, on dispose de l'égalité suivante :

Comme les $d i$ sont des entiers naturels, on a nécessairement, les 5 nombres suivants : 1;1;2;3;3.

Il y a donc 2 représentations irréductibles de dimension 1 qui ne sont pas équivalentes, une représentation irréductible de degré 2 et deux représentations irréductibles de dimension 3 qui ne sont pas équivalentes.

Les deux représentations irréductibles immédiates sont :

La représentation triviale t qui à chaque élément du groupe associe un.
La représentation qui à σ associe la signature. Pour ces deux représentations, on obtient la table des caractères :

Car. irr.	1	(ab)	(abc)	(ab)(cd)	(abcd)
t	1	1	1	1	1
σ	1	-1	1	1	-1

Comme S₄ est un groupe symétrique, il existe une représentation naturelle (V, ρ) de ce groupe : soit V un espace de dimension quatre sur C, p une permutation de S₄, (e_i) pour i variant de 1 à 4 une base de V alors l'image de ρ(p) de la base (e_i) est la famille (e_p(i)). Chaque élément de S₄ possède comme image par ρ un automorphisme de matrice une matrice de permutation d'ordre quatre. La trace de ρ(s) si s est un élément du groupe correspond au nombre de vecteur de la base laissé invariant, si l'ordre des classes de conjugaison est le même que celui du tableau, on obtient le caractère (4, 2, 1, 0, 0). Le sous-espace vectoriel de dimension un engendré par le vecteur somme des éléments de la base est stable et correspond à la représentation irréductible triviale. Comme toute représentation est somme directe de représentations irréductibles, il existe une représentation, correspondant à la représentation naturelle à laquelle a été retranchée la représentation triviale. On obtient une représentation φ₁ de caractère (3, 1, 0, -1, -1) obtenu en retranchant le caractère de la représentation triviale à celle de la représentation naturelle. La représentation obtenue est de dimension 3 et on vérifie grâce au caractère qu'elle est irréductible :

$<\chi_{\varphi_1}\, |\,\chi_{\varphi_1}>=\frac {1}{24}\Big(3^2+6\times 1^2+8\times 0^2 + 3\times (-1)^2 + 6\times (-1)^2\Big)=1 \;$

Le produit tensoriel de deux représentations est une représentation de caractère le produit des caractères, en conséquence si φ₂ est le produit tensoriel de φ₁ et de σ, on obtient représentation de caractère (3, -1, 0, -1, 1). Un calcul analogue à celui appliqué à φ₁ montre qu'il est irréductible. On a donc déterminé la seconde représentation irréductible de dimension 3, et toujours grâce aux caractères, on vérifie qu'elles ne sont pas équivalentes.

Il manque donc une représentation irreductible de degré deux. Utilisons la représentation régulière pour déterminer le dernier. La représentation régulière est somme directe de toutes les représentations irréductibles et il existe autant de copies d'une représentation irréductible donnée que la dimension de cette représentation irréductible. De plus le caractère de la représentation régulière est (24, 0, 0, 0, 0). Par soustraction, on obtient le caractère de θ : (2, 0, -1, 2, 0). Le tableau des caractères est donc :