Théorie de la diffraction sur un cristal - Définition et Explications

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Introduction

La théorie de la diffraction sur un cristal modélise l'interaction rayonnement-matière dans le cas où la matière est organisée de manière ordonnée (voir aussi Cristallographie).

Ces phénomènes interviennent essentiellement dans les méthodes d'analyse et d'observation (L’observation est l’action de suivi attentif des phénomènes, sans volonté de les...) de la matière :

  • diffraction des électrons (La diffraction des électrons est une technique utilisée pour l'étude de la...) en microscopie (La microscopie est l'observation d'un échantillon (placé dans une préparation microscopique...) électronique en transmission ;
  • diffractométrie de rayons X ;
  • diffraction de neutrons (La diffractométrie de neutrons est une technique d'analyse basée sur la diffraction des...).

On peut en avoir une approche simplifiée purement géométrique avec l'analogie avec un réseau (Un réseau informatique est un ensemble d'équipements reliés entre eux pour échanger des...) de diffraction (La diffraction est le comportement des ondes lorsqu'elles rencontrent un obstacle qui ne leur est...) et la loi de Bragg (Lorsque l'on bombarde un cristal avec un rayonnement dont la longueur d'onde est de l'ordre de la...).

Dans une large mesure, l'analyse est indépendante de la nature de la radiation (Le rayonnement est un transfert d'énergie sous forme d'ondes ou de particules, qui peut se...) incidente : rayonnement électromagnétique (Un rayonnement électromagnétique désigne une perturbation des champs électrique...) (rayons X) ou particule (électrons, neutrons). Toutefois, la nature du rayonnement (Le rayonnement, synonyme de radiation en physique, désigne le processus d'émission ou de...) intervient pour une analyse plus fine.

Diffusion par les atomes

Le phénomène à la base de la diffraction par un cristal (Cristal est un terme usuel pour désigner un solide aux formes régulières, bien que...) est la diffusion du rayonnement par les atomes. On considère exclusivement une diffusion élastique (Une diffusion élastique (ou collision élastique) est une interaction au cours de laquelle la...) (le rayonnement ne perd pas d'énergie), il s'agit donc de diffusion Rayleigh (La diffusion Rayleigh est un mode de diffusion des ondes (par exemple électromagnétiques ou...).

Cette diffusion est anisotrope ; toutefois, pour une première approche, on peut considérer par approximation (Une approximation est une représentation grossière c'est-à-dire manquant de...) que cette diffusion est isotrope, c'est-à-dire que l'intensité diffusée par chaque atome (Un atome (du grec ατομος, atomos, « que l'on ne peut...) est indépendante de la direction de l'espace.

Pour simplifier, on considère un rayonnement monochromatique (On qualifie de monochromatique (du grec mono-, un seul et chromos, couleur) une lumière dont la...). Le rayonnement de longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus...) d'onde (Une onde est la propagation d'une perturbation produisant sur son passage une variation...) λ peut être décrit par sa fonction d'onde ψ en tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...) point (Graphie) \vec{x} de l'espace et à chaque instant (L'instant désigne le plus petit élément constitutif du temps. L'instant n'est pas...) t :

\psi (\vec{x},t) = \psi_0 \cdot e^{i \left ( \omega t -2 \pi \vec{k} \cdot \vec{x} + \varphi_0 \right )}

où φ0 est la phase (Le mot phase peut avoir plusieurs significations, il employé dans plusieurs domaines et...) à l'origine spatiale et temporelle, \vec{k} est le vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet...) d'onde

||\vec{k}|| = \frac{1}{\lambda}

et ω est la pulsation

\omega = \frac{2\pi c}{\lambda}

c étant la vitesse de la lumière (La vitesse de la lumière dans le vide, notée c (pour...).

On choisit arbitrairement l'origine telle que φ0 = 0.

Une maille donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire,...) du cristal est composée de n atomes. Chaque atome (Un atome (grec ancien ἄτομος [atomos], « que...) j placé en \vec{r}_j diffuse les rayonnements de manière élastique. Considérons l'onde diffusée ayant un vecteur d'onde \vec{k}' :

  • ||\vec{k}|| = ||\vec{k}'|| puisque l'on considère une diffusion élastique ;
  • la direction de \vec{k}' est la direction de l'espace dans laquelle est diffusée l'onde.

La fonction de l'onde diffusée par l'atome j est ψj et s'écrit :

 \psi_j (\vec{x},t) = \psi_0 \cdot e^{i \left ( \omega t + \varphi (\vec{x} ) \right )} \cdot f_j

où φ est le déphasage de l'onde en \vec{x} par rapport à l'origine spatiale et ƒj est le facteur de diffusion atomique, qui dépend de la densité (La densité ou densité relative d'un corps est le rapport de sa masse volumique à la...) du nuage (Un nuage est une grande quantité de gouttelettes d’eau (ou de cristaux de glace) en...) électronique de l'atome, donc de sa nature chimique.

Le déphasage φ est la somme de deux contributions :

  • au point \vec{r}_j considéré, le déphasage φ de l'onde incidente par rapport à la source placée à l'origine vaut
\varphi_1 = - 2 \pi \vec{k} \cdot\vec{r}_j ;
  • le déphasage φ2 de l'onde diffractée entre sa source (l'atome en \vec{r}_j) et le point \vec{x} vaut
\varphi_2 = - 2 \pi \vec{k}' \cdot(\vec{x}-\vec{r}_j) ;
  • le déphasage total ( Total est la qualité de ce qui est complet, sans exception. D'un point de vue comptable, un...) vaut
\varphi (\vec{x} ) = \varphi_1 + \varphi_2 = - 2 \pi \left ( \vec{k} \cdot \vec{r}_j + \vec{k}' \cdot(\vec{x}-\vec{r}_j) \right ) = 2 \pi \left ( (\vec{k}'-\vec{k})\cdot \vec{r}_j - \vec{k}' \cdot \vec{x} \right ) ;
Vecteur de diffraction : différence entre le vecteur de l'onde diffusée et celui de l'onde incidente

Si l'on définit le vecteur de diffraction \vec{K} comme étant

\vec{K} = \vec{k}' - \vec{k}

on a alors :

 \psi_j = \psi_0 \cdot e^{i ( \omega t - 2 \pi \vec{k}' \cdot \vec{x} )} \cdot f_j \cdot e^{ \left ( i 2 \pi \vec{K} \cdot \vec{r}_j \right )}

Note
On ne considère qu'une direction de diffusion à la fois, la « direction d'observation » (par exemple direction dans laquelle se trouve le détecteur (Un détecteur est un dispositif technique (instrument, substance, matière) qui change...) ponctuel (En géométrie, un point est le plus petit élément constitutif de l'espace de travail.) de rayonnement servant à la mesure ou emplacement donné du film photographique ou du détecteur à résolution spatiale), et donc qu'un seul vecteur de diffraction ; mais l'onde est bel (Nommé en l’honneur de l'inventeur Alexandre Graham Bell, le bel est unité de...) et bien diffusée dans toutes les directions simultanément.

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