Thomas Joannes Stieltjes - Définition

Apport

Stieltjes a réalisé de nombreux travaux malgré sa courte vie qui s'acheva en 1894. Son œuvre majeure est incontestablement le théorème portant en partie son nom, c'est-à-dire le théorème de Stieltjes-Riemann sur les constantes de l'intégrale dans le cadre de son travail sur les fractions continues.

Vie professionnelle

Les quadratures de Gauss

Les méthodes de quadrature de Gauss datent de 1814. Celles-ci servent à calculer la valeur numérique d'intégrales définies : Thomas-Joannes Stieltjes était fasciné par les formules tirées de cette méthode. En effet c'est lui qui démontra leur convergence lorsque l'intervalle d'intégration (intervalle qui permet de calculer l'aire comprise sous une courbe entre deux limites) est fini. Stieltjes prouva aussi certaines inégalités concernant les quadratures de Gauss. En 1887, il est l'un des fondateurs des prestigieuses Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse et en 1889, il est nommé professeur de calcul différentiel et intégral. Depuis 1884, il est passionné par la méthode de quadrature de Gauss, en particulier, il est intrigué par une intégrale définie et d'un type spécial de fractions continues. En décembre 1890, Hermite lui propose de concourir pour le grand prix des sciences mathématiques de l'Académie mais celui-ci refuse.

Les fractions continues

Durant son existence, Thomas-Joannes Stieltjes consacre une part importante de sa vie aux fractions continues qu'il découvre suite à ses correspondances, notamment avec Hermite. Il y travaille surtout dans la fin des années 1880.

Une fraction continue est, comme l'indique son nom, infinie. En effet, elle est une fraction dont le dénominateur est un nombre auquel on ajoute une fraction dont le dénominateur est un nombre etc. Il travaille sur les fractions continues dans le cas ou leurs éléments sont des fonctions d'une variance complexe z. Suite à quoi, il réalisa la théorie analytique des fractions continues.

En 1894, il créa l'intégrale (la constante) de Stieltjes. En effet, dans des cas particuliers, la fraction continue converge vers une fonction définie par une certaine intégrale et la fraction continue n'est en fait qu'un intermédiaire entre la série et l'intégrale. En 1894, un résumé du plus important de son travail est publié dans les Comptes rendus de l'Académie des Sciences de Paris. C'est dans ce mémoire de 170 pages qu'il introduit son intégrale pour laquelle son nom est resté célèbre.

Les polynômes orthogonaux

Le néerlandais a consacré une grande partie de son temps à étudier les différents polynômes mais plus particulièrement les polynômes orthogonaux que l'on retrouve dans les formules de quadrature de Gauss et dans les fractions continues. C'est la personne qui a le plus contribué à leur développement. Le 8 novembre 1894, il a écrit une lettre dans laquelle il dit avoir trouvé d'autres polynômes qui sont reliés aux polynômes orthogonaux ; aujourd'hui ils portent son nom, ils servent aussi pour l'évaluation de l'erreur des formules des quadratures de Gauss.

Ses diverses thèses

Stieltjes est à l'origine de plusieurs grandes thèses très importantes comme par exemple, en janvier 1883, celle relative à la réduction des observations de la différence de la longitude Layde-Greenwitch. C'est d'ailleurs grâce à ce travail fourni qu'il rencontrera par la suite Hermite à Paris.
Il est aussi à l'origine de nombreux calculs sur la détermination du temps azimut du soleil et de la réduction d'observations pour déterminer la déclinaison magnétique.
Toutefois, il n'a pas toujours su démontrer toutes ses théories et malgré son très haut niveau scientifique, il s'est parfois trompé, comme pour la thèse sur la conjecture de Riemann sur laquelle il travailla en France avec Hermite et Darboux en 1842 : les fonctions se révèleront fausses et on ne trouve toujours pas d'éléments de réponse aujourd'hui.
Il change alors de thèses et fait désormais l'étude de quelques séries semi-convergentes ainsi que de nombreuses théories récentes concernant la loi de la variation de la densité à l'intérieur de la Terre ; beaucoup de grands mathématiciens ne réussiront d'ailleurs pas à trouver des solutions car certaines fractions sont définies ou peuvent être remplacées par un développement en série. Cependant, T. J. Stieltjes soutient sa thèse et prend contact avec le ministre pour un poste en France. Henri Poincaré publiera quelques mois plus tard un travail similaire sur les séries semi-convergentes et les nomma séries « asymptotiques ».

Ses prix et ses divers statuts

• 1873, il débute ses études à l'École polytechnique de Deft
• avril 1877, poste d'assistant à l'Observatoire de Leyde aux calculs astronomiques
• 1878, après le départ de J.-C Kapteyn, son rôle est de confectionner un catalogue d'étoiles voisines du pôle
• il va poursuivre ses études a l'Université Johns-Hopkins de Baltimore (États-Unis)
• De septembre à décembre 1883, Thomas donne des cours sur le géométrie analytique et la géométrie descriptive puisqu'il a remplacé le professeur F-J van de Berg à l'École polytechnique de Deft.
• juin 1884,il reçoit le doctorat honoris causa de la part de l'Université de Leyde
• 6 mai, il devient membre de l'Académie royale des sciences hollandaise
• on le nomme maitre de conférence à la faculté des sciences a Toulouse à la rentrée de septembre 1886
• 1887, c'est l'un des auteurs des célèbres Annales toujours à la faculté des sciences de Toulouse
• 1889, a Toulouse, il prend le poste de professeur de calcul différentiel et intégral
• janvier 1891, l'Académie des sciences d'Amsterdam le prend en tant que membre correspondant
• juin 1892, l'Académie des sciences de Paris lui décerne le prix Petit Dormoy
• peu de temps avant la mort de sa mère, en juillet 1892, on lui a remis le prix Lecomte
• 3 décembre 1894, T-J Stieltjes est appelé par l'Académie de Saint-Petersbourg pour devenir membre correspondant