Ensemble de Cantor
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L'ensemble de Cantor (ou ensemble triadique de Cantor, ou poussière de Cantor) est un sous-ensemble remarquable de la droite réelle construit par le mathématicien allemand Georg Cantor.

Il s'agit d'un ensemble fermé de [0,1], d'intérieur vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.). Il sert d'exemple pour montrer qu'il existe des ensembles non dénombrables mais négligeables au sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive allant du...) de la mesure de Lebesgue (La mesure de Lebesgue doit son nom au mathématicien français Henri Léon Lebesgue. Elle est d'une importance capitale en théorie de l'intégration.). C'est aussi le premier exemple de fractale (On nomme fractale ou fractal (nom masculin moins usité), une courbe ou surface de forme irrégulière ou morcelée qui se crée en suivant des règles déterministes ou stochastiques. Le terme...) (bien que le terme ne soit apparu qu'un siècle (Un siècle est maintenant une période de cent années. Le mot vient du latin saeculum, i, qui signifiait race, génération. Il a ensuite indiqué la durée d'une...) plus tard), et il possède une dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son...) fractionnaire au sens de Hausdorff.

Il admet enfin une interprétation en terme de développement des réels en base 3. Pour cette raison, il est souvent noté K_3 \,\!.

On le construit de manière itérative à partir du segment [0,1] \,\! en enlevant le tiers central ; puis on réitère l'opération sur les deux segments restants, et ainsi de suite. On peut voir les sept premières itérations du procédé sur le schéma suivant :


Construction

Construction itérative

On dénote par \mathcal{T} \,\! l'opérateur (Le mot opérateur est employé dans les domaines :) " enlever le tiers central ".

\mathcal{T} \,\!: I \rightarrow I_0 \cup I_1 \, , \, [a,b] \mapsto [a,a+\frac{b-a}{3}] \cup [b- \frac{b-a}{3},b] \,\!

On note A_0 = [0,1] \,\! et on définit par récurrence une suite de parties de [0,1] \,\! par la relation : \forall n \in \N,\, A_{n+1} = \mathcal{T}(A_n) \,\!.

On a :

A_1 = [0,\frac{1}{3}] \cup [\frac{2}{3},1] \,\!

A_2 = [0,\frac{1}{9}] \cup [\frac{2}{9},\frac{1}{3}] \cup [\frac{2}{3},\frac{7}{9}] \cup [\frac{8}{9},1] \,\!

A_3 = [0,\frac{1}{27}] \cup [\frac{2}{27},\frac{1}{9}] \cup [\frac{2}{9},\frac{7}{27}] \cup [\frac{8}{27},\frac{1}{3}] \cup [\frac{2}{3},\frac{19}{27}] \cup [\frac{20}{27},\frac{7}{9}] \cup [\frac{8}{9},\frac{25}{27}] \cup [\frac{26}{27},1] \,\!

Alors l'ensemble de Cantor (L'ensemble de Cantor (ou ensemble triadique de Cantor, ou poussière de Cantor) est un sous-ensemble remarquable de la droite réelle construit par le mathématicien allemand Georg Cantor.) K \,\! est " la limite " de A_n \,\! quand n \,\! tend vers +\infty \,\! : K = \bigcap_{n \in \N} A_n \,\!.

Écriture en base 3

On peut aussi définir l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un...) de Cantor via l'écriture en base 3 : tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) réel x \in [0,1] \,\! s'écrit de manière : x = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x_n}{3^n} \,\! avec x_n \in \{ 0,1,2\}  \,\!

On écrit alors x = 0,x_1 x_2 x_3 x_4 x_5 ... \,\!

Cette écriture est unique à ceci près : on peut remplacer 1000000... \,\! par 0222222... \,\! (et 2000000... \,\! par 1222222... \,\!) à la fin d'une écriture. Si on choisit de faire cette transformation on peut alors définir K_3 \,\! par :

L'ensemble de Cantor est formé des réels de [0,1] \,\! ayant une écriture en base 3 ne contenant que des 0 et des 2.

C'est-à-dire K_3 = \left\{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x_n}{3^n} \, , \, x_n \in \{ 0,2 \} \right\} \,\!

Note: donc 1/3 est dans cet ensemble, puisqu'il admet les deux écritures 0,1000… et 0,02222… en base 3. 2/3 également (0,2000… ou 0,12222…). Remarquez que parmi les nombres admettant un développement propre et un développement impropre, il n'en existe aucun dont les deux écritures vérifient la propriété demandée.

Propriétés

L'ensemble de Cantor a de nombreuses propriétés particulières.

Mesure

L'ensemble de Cantor est de mesure nulle, c'est-à-dire négligeable au sens de la mesure de Lebesgue.

En effet en notant l la mesure de Lebesgue sur \R \,\!, on a :

  • l  \left( [0,1] \right) = 1 \,\!;
  • pour une réunion A_n \,\! d'intervalles : l \left( \mathcal{T}(A_n) \right) = l(A_{n+1})   = \frac{2}{3} l (A_n) \,\! ;

\mathcal{T} \,\! est l'opérateur " ablation du tiers central " (voir premier paragraphe).

On en déduit que pour les étapes de la construction itérative ci-dessus : \forall n \in \N ,\, l \left( A_n \right) = \left( \frac{2}{3} \right)^n \,\!

Et comme l'ensemble de Cantor est inclus dans tous les An : l \left( K \right) = 0 \,\!.

L'ensemble de Cantor est donc " petit " au sens de la mesure de Lebesgue.

Non-dénombrabilité

Cependant l'ensemble de Cantor n'est pas dénombrable ; il a la puissance (Le mot puissance est employé dans plusieurs domaines avec une signification particulière :) du continu (voir Infini).

En effet on peut montrer que les ensembles K_3 \,\! et [0,1] \,\! sont équipotents.

Pour cela on associe à tout élément x=O,x_1 x_2 x_3 x_4 ... \in K_3 \,\! écrit en base 3, l'élément f(x)=0,x'_1 x'_2 x'_3 x'_4 ... \in [0,1] \,\! écrit en base 2, avec :

  • x'_i =  0\,\! si x_i = 0 \,\! ;
  • x'_i = 1 \,\! si x_i = 2 \,\!.

Par exemple l'élément 0,0202200222000... \,\! de l'ensemble de Cantor correspondra à l'élément 0,0101100111000... \,\! du segment unité [0,1] \,\!.

Il est facile de voir que cette application est surjective mais non injective (l'élément 0,1 étant l'image de 0,0222222... comme de 0,2). De l'existence d'une surjection (Une fonction est dite surjective ou est une surjection si pour tout y dans l'ensemble d'arrivée Y, il existe au moins un élément x de la source X tel que f(x) = y. On dit alors que tout élément y de Y admet au moins un...) de K3 dans [0,1] et en admettant l'axiome (Un axiome (du grec ancien αξιωμα/axioma, « considéré comme digne, convenable, évident en soi ») désigne...) du choix, on déduit l'existence d'une injection (Le mot injection peut avoir plusieurs significations :) de [0,1] dans K3, et comme l'application identité (En mathématiques, sur un ensemble X donné, la fonction identité est la fonction, notée id qui à tout élément x de X associe lui-même :) induit (L'induit est un organe généralement électromagnétique utilisé en électrotechnique chargé de recevoir l'induction de l'inducteur et de la transformer en électricité (générateur) ou en force (moteur).) clairement une injection de K3 dans [0,1], alors d'après le théorème de Cantor-Bernstein (Le théorème de Cantor-Bernstein, également appelé théorème de Cantor-Schröder-Bernstein, est un théorème de la théorie axiomatique des ensembles. Il...), on en déduit que K3 et [0,1] sont équipotents. Donc l'ensemble de Cantor est aussi en bijection (Une fonction f: X → Y est dite bijective ou est une bijection si pour tout y dans l’ensemble d'arrivée Y il existe un et un seul x dans l’ensemble de définition X...) avec \R \,\!, il a la puissance du continu.

On peut aussi utiliser l'écriture en base 3. Celle-ci montre que K_3\, est équipotent à \{0,1\}^\N\,.

Ainsi l'ensemble de Cantor est " grand " au sens de la théorie des ensembles.

Propriétés topologiques

  • L'ensemble de Cantor est compact, et n'a que des points d'accumulation. On dit que c'est un ensemble parfait. Par ailleurs, il est d'intérieur vide,

Démonstration : soit P un point (Graphie) de K3, et soit une boule ouverte (intervalle ouvert) centrée en P. Cet ouvert contient nécessairement un réel dont le développement en base 3 contient le chiffre (Un chiffre est un symbole utilisé pour représenter les nombres.) 1, qui n'est pas élément de K3. Donc P n'est pas intérieur à K3. Par ailleurs, dans ce même intervalle, il existe toujours un réel dont le développement en base 3 s'écrit uniquement avec des 0 ou des 2. Donc P n'est pas un point isolé (En topologie, un point x d'un espace topologique E est dit isolé si le singleton est un ouvert.).

  • L'ensemble de Cantor est également totalement discontinu c'est-à-dire que chaque singleton est sa propre composante connexe, et homéomorphe à l'espace topologique (En mathématiques, les espaces topologiques permettent de définir dans un contexte très général des concepts comme la convergence, la continuité et la connexité. Ces concepts apparaissent dans...) \{ 0,1 \} ^{\mathbb N} \,\!.
  • Enfin l'ensemble de Cantor est " universel dans la catégorie des espaces métriques compacts", autrement dit tout espace métrique (En mathématiques, un espace métrique est un ensemble au sein duquel une notion de distance entre les éléments de l'ensemble est définie. C'est un cas particulier...) compact est l'image de l'ensemble de Cantor par une application continue. Cette affirmation a des répercussions importantes en analyse fonctionnelle (En mathématiques, le terme fonctionnelle se réfère à certaines fonctions. Initialement, le terme désignait les fonctions qui en prennent d'autres en argument. Aujourd'hui, le terme a été étendu,...).

Auto-similarité

L'image de l'ensemble de Cantor par l'homothétie (Une homothétie est une transformation géométrique, c'est-à-dire une règle qui associe à chaque point d’un espace un point de ce même espace. On dit aussi que c'est une application mathématique de...) h de centre 0 et de rapport 1/3 est elle-même une partie de l'ensemble de Cantor .

Plus précisément, K_3 = h \left( K_3 \right) \cup \left( h \left( K_3 \right) + \frac{2}{3} \right) \,\!.

Ainsi, K_3\, est la réunion (La Réunion est une île française du sud-ouest de l'océan Indien située dans l'archipel des Mascareignes à environ 700 kilomètres à l'est...) disjointe de deux parties qui lui sont homothétiques. C'est une manifestation de ce qu'on appelle l'auto-similarité, qui est l'une des propriétés de base des fractales. Sa dimension au sens de Hausdorff est Log(2)/Log(3) (< 1).

Remarque

Une autre version de l'ensemble de Cantor est l'ensemble de Cantor "quatre coins". Il est construit sur le même principe général, mais basé sur un carré : on considére un carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses quatre côtés ont la même longueur et ses quatre...) que l'on découpe en 16 carrés de même taille, et on supprime tous les carrés n'étant pas dans un coin du carré de départ. L'ensemble est construit de façon itérative en répétant cette action sur les nouveaux carrés.

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