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Observable

Introduction

Dans le formalisme de la mécanique quantique, une opération de mesure (c'est-à-dire obtenir la valeur ou un intervalle de valeurs d'un paramètre physique, ou plus généralement une information sur un système physique) est représentée par ce qu'il est convenu d'appeler une observable.

Définition formelle

Une observable est formalisée mathématiquement par un opérateur agissant sur les vecteurs d'un espace de Hilbert (Un espace de Hilbert est un espace de Banach (donc complet) dont la norme découle d'un produit scalaire ou hermitien par la formule . C'est la généralisation en dimension quelconque d'un...) \mathcal{H} (chaque état quantique étant représenté par un vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un scalaire. Un n-uplet...) dans cet espace).

Le sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution...) de cet opérateur observable est de donner la possibilité de décomposer un état quantique quelconque |\psi\rangle (donc un vecteur quelconque de l'espace de Hilbert) en une combinaison (Une combinaison peut être :) linéaire d'états propres, chacun de ces états étant un état possible résultant de l'opération de mesure.

Soient |\alpha_i\rangle les vecteurs propres de \hat{A} (éventuellement en nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque chose qui n'a pas de limite en nombre ou en...) selon l'observable).

\hat{A} \Rightarrow |\psi\rangle = c_1 |\alpha_1\rangle + c_2 |\alpha_2\rangle + .. +  c_n |\alpha_n\rangle + ..
c_i = \langle\psi|\alpha_i\rangle étant le coefficient (En mathématiques un coefficient est un facteur multiplicatif qui dépend d'un certain objet, comme une variable (par exemple, les...) complexe de cette combinaison linéaire.

Ce coefficient donne la probabilité pour qu'un état propre \left| \alpha_i \right\rangle soit le résultat de la mesure d'un état quantique  |\psi\rangle :

P = {|\langle\psi |\alpha_i\rangle|}^2 (en supposant que \left| \psi \right\rangle et \left| \alpha_i\right\rangle soient normés)


L'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble),...) des vecteurs propres |\alpha_i\rangle n'est autre que l'ensemble des résultats possibles de l'opération de mesure formalisée par l'observable.

Les états qui s'expriment avant la mesure sous la forme simple |\phi\rangle = c_i |\alpha_i\rangle sont appelés état propre ou état pur. En règle générale, un état quantique n'est pas pur et sont des états superposés, pour cette observable.

Un état peut être pur selon une observable donnée, et être superposé selon une autre observable. C'est d'ailleurs la raison fondamentale (En musique, le mot fondamentale peut renvoyer à plusieurs sens.) du principe d'incertitude d'Heisenberg : un état quantique qui est pur pour une observable (et qui possède donc une valeur précise pour cette observable), peut avoir tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) un ensemble de valeurs possibles pour une autre observable.

Après l'opération de mesure, le système physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens général et...) mesuré sera dans l'un des états propres définis par l'observable (postulat d'effondrement de la fonction d'onde)

Exemples d'observables

  • l'hamiltonien H\, (associé à l'énergie du système)
  • l'impulsion \vec{P} = -i\hbar\vec\nabla =(P_x,P_y,P_z)\,
  • la position \vec{R}=(X,Y,Z)\,.
  • la vitesse (On distingue :) \vec{V}=\vec{P}/m \,
  • le moment cinétique orbital \vec{L}=(L_x,L_y,L_z)\,
  • le spin (Le spin est une propriété quantique intrinsèque associée à chaque particule, qui est caractéristique de la nature de la particule, au...) \vec{S}=(S_x,S_y,S_z)\,
  • le moment magnétique \vec{M}=(M_x,M_y,M_z)\,

Propriétés de l'opérateur Observable

Cet opérateur doit posséder les propriétés suivantes pour pouvoir être qualifié d'observable :

  • \hat{A} doit être un opérateur linéaire.
  • Les valeurs propres de \hat{A}, autrement dit les résultats possibles de l'opération de mesure, doivent être des nombres réels. Ceci est assuré si \hat{A} est un opérateur hermitien (Plusieurs entités mathématiques sont qualifiées d'hermitiennes en référence au mathématicien Charles Hermite.).
  • Les vecteurs propres de \hat{A} doivent être orthogonaux. Ceci est fondamental pour une observable car une fois qu'un état quantique possède une valeur définie, celle-ci doit rester la même si on applique de nouveau le même opérateur de mesure. La probabilité de trouver, comme résultat d'une seconde ( Seconde est le féminin de l'adjectif second, qui vient immédiatement après le premier ou qui s'ajoute à quelque chose de nature identique. La...) application de l'opérateur, un autre vecteur propre (En mathématiques, le concept de vecteur propre est une notion algébrique s'appliquant à une application linéaire d'un espace dans lui-même. Il correspond à...) doit donc être nulle. Ceci est assuré si et seulement si les vecteurs propres sont orthogonaux.
  • Les vecteurs propres de \hat{A} doivent former une base de \mathcal{H}. Cela assure que tout état quantique (tout vecteur de \mathcal{H}) est mesurable par cet opérateur. C'est cette base qui caractérise l'observable. Passer (Le genre Passer a été créé par le zoologiste français Mathurin Jacques Brisson (1723-1806) en 1760.) d'une observable à une autre (par exemple de la position à l'impulsion) équivaut à examiner le vecteur représentant l'état quantique dans une base ou dans une autre.
  • Les vecteurs propres de \hat{A} doivent être normalisables. En effet, si un vecteur propre n'est pas normalisable, la probabilité d'obtenir cet état propre comme résultat d'une mesure sera nulle. Cette dernière propriété n'est pas strictement indispensable pour que \hat{A} soit une observable théorique, mais elle l'est pour que \hat{A} soit une observable correspondant à une opération de mesure réelle. Par exemple, la position ou l'impulsion ne sont pas des observables normalisables (ce qui est logique (La logique (du grec logikê, dérivé de logos (λόγος), terme inventé par Xénocrate signifiant à la fois raison, langage, et raisonnement) est dans une...), car étant des variables continues, la probabilité d'obtenir une position ou une quantité de mouvement précise est effectivement nulle).
Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0. Vous pouvez soumettre une modification à cette définition sur cette page.

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