Fenêtre de tir - Définition

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Soit la Terre supposée sphérique. Le champ gravitationnel est donc central et en 1/r^2. L'orbite d'un satellite suivra les lois de Kepler. Pour mettre un satellite en orbite circulaire à la distance r°, il faut une vitesse initiale V° perpendiculaire à OM°, de valeur V° telle que :

 
 - V°^2/r° = - gR^2/ r°^2 soit V° = sqrt(gR).sqrt( R/r°) 
 

On reconnaît dans sqrt(gR) = 8km/s la première vitesse cosmique V1,ou vitesse de Schuler. Comme r° = R + h avec h<

Le problème qui se pose alors est : si on se trompe un peu sur le module ( mais pas en direction), quel danger y a -t-il pour que le satellite s'écrase dans l'atmosphère ( 10km = 0 pour simplifier)?

Si on se trompe un peu dans la direction, même question ;

C'est le problème dit de la fenêtre de tir

Vitesse trop petite

Bonne direction et vitesse trop grande, M° est le périgée ;rien à craindre.

Bonne direction , vitesse trop petite , M° est l'apogée A: il faut que le périgée P , à l'opposé de la trajectoire soit à une distance OP > R :le grand axe 2a doit donc être supérieur à r°+R.

On connaît la formule E° = énergie mécanique = - gR^2.m/2a = -gR^2m/r° +1/2 m V°^2.

Donc V°^2 > 2.gR^2[1/r°-1/(r°+R)] = 2.gR^3/r°(r°+R) ~ gR(1-h/R)(1-h/2R)=> V1(1-h/2R) .(1-h/4R).

Donc il ne faut pas se tromper de plus que 100h/4R % = 3% à 800km et 0.4% à 100km !

Mauvaise direction

Bon module, donc bonne eénergie donc 2a = 2r°. Donc M° est l'extémité B du petit axe, qui se projette au centre C de l'ellipse , sur la droite parallèle à V°, passant par O : donc l'excentricité e vaut sinα : le périgée sera à OP= a-c = r°(1-sinα)

 
 soit sinα < h/R , donc α < (~h/R) (=1/8 rd= 7° pour Spot). 
 

et ~1° pour h = 100km: c'est une petite fenêtre de tir, sans gravité : on sait pointer à mieux que le demi-degré !