Éléments de mathématique - Définition

Éléments de mathématique est un traité de mathématiques de Nicolas Bourbaki composé de dix livres (divisés chacun en un ou plusieurs chapitres).

Il faut savoir que le singulier "mathématique" utilisé dans le titre est un fait volontaire de l'auteur, qui pense que la matière constitue un bloc unique, contrairement à ce que suggère son intitulé habituel.

Plan

• Livre I : Théorie des ensembles

1. Description de la mathématique formelle
2. Théorie des ensembles
3. Ensembles ordonnés, Cardinaux, Nombres entiers
4. Structures

• Livre II : Algèbre

1. Structures algébriques
2. Algèbre linéaire
3. Algèbres tensorielles, algèbres extérieures, algèbres symétriques
4. Polynômes et fractions rationnelles
5. Corps commutatifs
6. Groupes et corps ordonnés
7. Modules sur les anneaux principaux
8. Modules et anneaux semi-simples
9. Formes sesquilinéaires et formes quadratiques

• Livre III : Topologie générale

1. Structures topologiques
2. Structures uniformes
3. Groupes topologiques
4. Nombres réels
5. Groupes à un paramètre
6. Espaces numériques et espaces projectifs
7. Les groupes additifs

• Livre IV : Fonctions d'une variable réelle
• Livre V : Espaces vectoriels topologiques
• Livre VI : Intégration
• Livre VII : Algèbre commutative
• Livre VIII : Variétés différentielles et analytiques
• Livre IX : Groupes et algèbres de Lie
• Livre X : Théories spectrales

Évolution du projet

Le premier volume à être publié, en 1939, fut le Fascicule de résultats de la Théorie des ensembles. La publication des volumes suivants ne respecta pas l'ordre du traité.

Ainsi le septième chapitre de l’Algèbre commutative fut le dernier volume publié en 1998.

Les Éléments de mathématique restent, encore à ce jour, inachevés.

La plupart des livres publiés sont épuisés depuis des années.

L'éditeur Springer a cependant entrepris en 2006 leur réédition. À cet effet, ont été réédités au mois d'octobre : algèbre commutative (chap. 1 à 4, chap. 5 à 7, chap. 8 et 9), groupes et algèbres de Lie (chap. 2 et 3, chap. 7 et 8) et la théorie des ensembles.