Construction des nombres complexes
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Le but de cet article est de présenter, d'une part la construction, facile, des nombres complexes, et d'autre part, la démonstration, parfois un peu plus compliquée, qu'il s'agit bien d'un corps algébriquement clos.

Définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) en tant que corps valué

En tant que simple corps, les complexes sont aisés à définir; cela fait appel à la notion d'extension algébrique (En mathématiques et plus particulièrement en algèbre, une extension algébrique L sur un corps K est une extension de corps dans laquelle tous les éléments sont algébriques...) par adjonction de racines :

\mathbb{C}=\mathbb{R}[X]/(X^2+1)

La classe de X est notée i (parfois, par exemple en électricité (L’électricité est un phénomène physique dû aux différentes charges électriques de la matière, se manifestant par une énergie. L'électricité...), les physiciens préfèrent utiliser j, et réservent la lettre i à une intensité). Elle vérifie comme on le souhaitait la relation: i2 = − 1.

Ceci définit une extension des nombres réels, de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien...) 2 (on peut donc bien écrire de façon unique tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) complexe sous la forme a + bia et b sont des réels). On va la munir de la norme (Une norme, du latin norma (« équerre, règle ») désigne un état habituellement répandu ou moyen considéré le...) d'extension algébrique la plus naturelle dans ce cadre: |a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}. Elle prolonge bien celle des réels, et en tant qu'espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est une structure algébrique permettant en pratique d'effectuer des combinaisons linéaires. Pour une introduction au concept de vecteur, voir l'article Vecteur.) de dimension finie sur \mathbb{R}, on a bien un espace complet (En mathématiques, un espace métrique M est dit complet ou espace complet si toute suite de Cauchy de M a une limite dans M (c’est-à-dire qu'elle converge dans M). La propriété de complétude dépend de la...).

Démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou précédemment démontrées à partir de propositions initiales, en s'appuyant sur un...) de la clôture algébrique (En mathématiques, une clôture algébrique d'un corps K est une extension algébrique de K qui est algébriquement close.)

via les fonctions holomorphes et le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir d'axiomes....) de Liouville

On raisonne par l'absurde : soit P un polynôme (En mathématiques, un polynôme est la combinaison linéaire des puissances d'une variable, habituellement notée X. Ces objets sont largement utilisés en pratique, ne serait-ce que parce qu'ils...) non constant n'ayant aucune racine dans le corps des complexes. Alors on peut définir son inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de composition interne · notée multiplicativement, est un...) Q:= \frac{1}{P} sur \mathbb{C} tout entier. Q est développable en série entière au voisinage (La notion de voisinage correspond à une approche axiomatique équivalente à celle de la topologie. La topologie traite plus naturellement les notions globales comme la continuité qui s'entend ici comme la continuité en tout point. En...) de tout point (Graphie), donc holomorphe. De plus, en module, P(z) tend vers l'infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque chose qui n'a pas de limite en nombre ou en taille.) lorsque z tend vers l'infini, donc Q(z) tend vers zéro (Le chiffre zéro (de l’italien zero, dérivé de l’arabe sifr, d’abord transcrit zefiro en italien) est un symbole marquant une position vide dans l’écriture des nombres en...) en l'infini. Q étant de plus continue, elle est bornée sur \mathbb{C} entier. Étant holomorphe, elle est constante, par le théorème de Liouville. Contradiction (Une contradiction existe lorsque deux affirmations, idées, ou actions s'excluent mutuellement.).

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