Le but de cet article est de présenter, d'une part la construction, facile, des nombres complexes, et d'autre part, la démonstration, parfois un peu plus compliquée, qu'il s'agit bien d'un corps algébriquement clos.
En tant que simple corps, les complexes sont aisés à définir; cela fait appel à la notion d'extension algébrique par adjonction de racines :
La classe de X est notée i (parfois, par exemple en électricité, les physiciens préfèrent utiliser j, et réservent la lettre i à une intensité). Elle vérifie comme on le souhaitait la relation: i2 = − 1.
Ceci définit une extension des nombres réels, de dimension 2 (on peut donc bien écrire de façon unique tout nombre complexe sous la forme a + bi où a et b sont des réels). On va la munir de la norme d'extension algébrique la plus naturelle dans ce cadre:
On raisonne par l'absurde : soit P un polynôme non constant n'ayant aucune racine dans le corps des complexes. Alors on peut définir son inverse