Nabla - Définition et Explications

Article d'analyse vectorielle
Objets d'étude
Champ vectoriel Champ scalaire
Équation aux dérivées partielles
de Laplace – de Poisson (Dans la classification classique, les poissons sont des animaux vertébrés aquatiques...)
Opérateurs
Nabla (Nabla, noté , est un symbole mathématique pouvant aussi bien désigner le gradient d'une fonction...) Gradient
Rotationnel Divergence
Laplacien scalaire Bilaplacien
Laplacien vectoriel D'alembertien
Théorèmes
de Green de Stokes
de Helmholtz de flux-divergence
du gradient du rotationnel

Nabla, noté \nabla, est un symbole mathématique pouvant aussi bien désigner le gradient d'une fonction en analyse qu'une connexion de Koszul en géométrie différentielle (En mathématique, la géométrie différentielle est l'application des outils du...). Les deux notions sont évidemment reliées, ce qui explique l'utilisation d'un même symbole. En physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la...), il est utilisé de manière informelle en dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une...) 3 pour représenter aisément la divergence (∇·A), le rotationnel (∇×A) et le laplacien vectoriel (ΔA = ∇²A) d'un champ (Un champ correspond à une notion d'espace défini:) vectoriel A, ainsi que le gradient (∇f) et le laplacien (Δf = ∇²f) d'un champ scalaire (Un vrai scalaire est un nombre qui est indépendant du choix de la base choisie pour exprimer les...) f. Ces notions sont fondamentales en physique, notamment en électromagnétisme (L'électromagnétisme est une branche de la physique qui fournit un cadre très général d'étude...) et en hydrodynamique.

Origine historique

La forme de Nabla vient d'un delta (Δ) renversé, à cause d'une utilisation comparable (calcul différentiel), elle a été introduite par Peter Guthrie Tait en 1867. D'abord surnommé avec malice " atled " (delta à l'envers) par James Maxwell, le nom Nabla lui fut donné par Tait sur l'avis (Anderlik-Varga-Iskola-Sport (Anderlik-Varga-Ecole-Sport) fut utilisé pour désigner un...) de William Robertson Smith, en 1870, par analogie de forme avec une harpe grecque qui dans l'antiquité portait ce nom.

Utilisation en analyse vectorielle (L'analyse vectorielle est une branche des mathématiques qui étudie les champs de...)

Ceci est une liste de quelques formules d'analyse vectorielle d'emploi général en travaillant avec plusieurs systèmes de coordonnées.

Opération Coordonnées cartésiennes (x,y,z) Coordonnées cylindriques (ρ,?,z) Coordonnées sphériques (On appelle coordonnées sphériques divers systèmes de coordonnées de l'espace...) (r,θ,?)
Définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la...)
des
coordonnées
\begin{cases} x =  \rho\cos\phi \\ y =  \rho\sin\phi \\ z =  z \end{cases} \begin{cases} x =  r\sin\theta\cos\phi \\ y =  r\sin\theta\sin\phi \\ z =  r\cos\theta \end{cases}
\overrightarrow A A_x\overrightarrow x + A_y\overrightarrow y + A_z\overrightarrow z A_\rho\overrightarrow \rho + A_\phi\overrightarrow \phi + A_z\overrightarrow z A_r\overrightarrow r + A_\theta\overrightarrow \theta + A_\phi\overrightarrow \phi
\overrightarrow\nabla f = \overrightarrow{\mathrm{grad}} f {\partial f \over \partial x}\overrightarrow x + {\partial f \over \partial y}\overrightarrow y + {\partial f \over \partial z}\overrightarrow z {\partial f \over \partial \rho}\overrightarrow \rho + {1 \over \rho}{\partial f \over \partial \phi}\overrightarrow \phi + {\partial f \over \partial z}\overrightarrow z {\partial f \over \partial r}\overrightarrow r + {1 \over r}{\partial f \over \partial \theta}\overrightarrow \theta + {1 \over r\sin\theta}{\partial f \over \partial \phi}\overrightarrow \phi
\overrightarrow\nabla\cdot\overrightarrow A = \mathrm{div} \overrightarrow{A} {\partial A_x \over \partial x} + {\partial A_y \over \partial y} + {\partial A_z \over \partial z} {1 \over \rho}{\partial \rho A_\rho \over \partial \rho} + {1 \over \rho}{\partial A_\phi \over \partial \phi}  + {\partial A_z \over \partial z} {1 \over r^2}{\partial r^2 A_r \over \partial r} + {1 \over r\sin\theta}{\partial A_\theta\sin\theta \over \partial \theta}  + {1 \over r\sin\theta}{\partial A_\phi \over \partial \phi}
\overrightarrow\nabla \wedge \overrightarrow A = \overrightarrow{\mathrm{rot}} \overrightarrow{A} \begin{matrix} ({\partial A_z \over \partial y} - {\partial A_y \over \partial z}) \overrightarrow x & + \\ ({\partial A_x \over \partial z} - {\partial A_z \over \partial x}) \overrightarrow y & + \\ ({\partial A_y \over \partial x} - {\partial A_x \over \partial y}) \overrightarrow z & \ \end{matrix} \begin{matrix} ({1 \over \rho}{\partial A_z \over \partial \phi} - {\partial A_\phi \over \partial z}) \overrightarrow \rho & + \\ ({\partial A_\rho \over \partial z} - {\partial A_z \over \partial \rho}) \overrightarrow \phi & + \\ {1 \over \rho}({\partial \rho A_\phi \over \partial \rho} - {\partial A_\rho \over \partial \phi}) \overrightarrow z & \ \end{matrix} \begin{matrix} {1 \over r\sin\theta}({\partial A_\phi\sin\theta \over \partial \theta} - {\partial A_\theta \over \partial \phi}) \overrightarrow r & + \\ ({1 \over r\sin\theta}{\partial A_r \over \partial \phi} - {1 \over r}{\partial r A_\phi \over \partial r}) \overrightarrow \theta & + \\ {1 \over r}({\partial r A_\theta \over \partial r} - {\partial A_r \over \partial \theta}) \overrightarrow \phi & \ \end{matrix}
\Delta f = \overrightarrow\nabla^2 f {\partial^2 f \over \partial x^2} + {\partial^2 f \over \partial y^2} + {\partial^2 f \over \partial z^2} {1 \over \rho}{\partial \over \partial \rho}\left(\rho {\partial f \over \partial \rho}\right) + {1 \over \rho^2}{\partial^2 f \over \partial \phi^2}  + {\partial^2 f \over \partial z^2} {1 \over r^2}{\partial \over \partial r}\left(r^2 {\partial f \over \partial r}\right) + {1 \over r^2\sin\theta}{\partial \over \partial \theta}\left(\sin\theta {\partial f \over \partial \theta}\right)  + {1 \over r^2\sin\theta}{\partial^2 f \over \partial \phi^2}
\Delta \overrightarrow A = \overrightarrow\nabla^2 \overrightarrow A \overrightarrow x\Delta A_x + \overrightarrow y\Delta A_y + \overrightarrow z\Delta A_z \begin{matrix} \overrightarrow c \rho(\Delta A_\rho - {A_\rho \over \rho^2} - {2 \over \rho^2}{\partial A_\phi \over \partial \phi}) & + \\ \overrightarrow \phi(\Delta A_\phi - {A_\phi \over \rho^2} + {2 \over \rho^2}{\partial A_\rho \over \partial \phi}) & + \\ \overrightarrow z \Delta A_z & \ \end{matrix} \begin{matrix} \overrightarrow r & (\Delta A_r - {2 A_r \over r^2} - {2 A_\theta\cos\theta \over r^2\sin\theta} \\ \ & - {2 \over r^2}{\partial A_\theta \over \partial \theta} - {2 \over r^2\sin\theta}{\partial A_\phi \over \partial \phi}) & + \\ \overrightarrow \theta & (\Delta A_\theta - {A_\theta \over r^2\sin^2\theta} \\ \ & + {2 \over r^2}{\partial A_r \over \partial \theta} - {2 \cos\theta \over r^2\sin^2\theta}{\partial A_\phi \over \partial \phi}) & + \\ \overrightarrow \phi & (\Delta A_\phi - {A_\phi \over r^2\sin^2\theta} \\ \ & + {2 \over r^2\sin\theta}{\partial A_r \over \partial \phi} + {2 \cos\theta \over r^2\sin^2\theta}{\partial A_\theta \over \partial \phi}) & \ \end{matrix}
Règles de calcul non évidentes:
  1. \mathrm{div}\overrightarrow {A}=\overrightarrow \nabla\cdot\overrightarrow {A}
  2. \operatorname{div}\ \overrightarrow{\operatorname{grad}} f = \overrightarrow \nabla \cdot (\overrightarrow \nabla f) = \overrightarrow \nabla^2 f = \Delta f (laplacien)
  3. \overrightarrow{\operatorname{rot}}\ \overrightarrow{\operatorname{grad}} f = \overrightarrow \nabla \wedge (\overrightarrow \nabla f) = \overrightarrow 0
  4. \operatorname{div}\ \overrightarrow{\operatorname{rot}} \overrightarrow {A} = \overrightarrow \nabla \cdot (\overrightarrow \nabla \wedge \overrightarrow {A}) = 0
  5. \overrightarrow{\operatorname{rot}}\ \overrightarrow{\operatorname{rot}} \overrightarrow {A} = \overrightarrow \nabla \wedge (\overrightarrow \nabla \wedge \overrightarrow {A})  = \overrightarrow \nabla (\overrightarrow \nabla \cdot \overrightarrow {A}) - \overrightarrow \nabla^2 \overrightarrow {A} = \overrightarrow{\operatorname{grad}}\ \operatorname{div} \overrightarrow A - \Delta \overrightarrow A
  6. \Delta f g = f \Delta g + 2 \overrightarrow \nabla f \cdot \overrightarrow \nabla g + g \Delta f
  7. Formule de Lagrange pour le produit vectoriel :
    \overrightarrow {A} \wedge (\overrightarrow {B} \wedge \overrightarrow {C}) = \overrightarrow {B} (\overrightarrow {A} \cdot \overrightarrow {C}) - \overrightarrow {C} (\overrightarrow {A} \cdot \overrightarrow {B})
Table avec les \nabla (nabla ou del) dans les coordonnées cylindriques ou sphériques
  • Note: les coordonnées sphériques auraient été plus naturelles si θ avait été défini comme l'angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts...) avec le plan X-Y.
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