Polynôme caractéristique
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En algèbre linéaire, à toute matrice carrée ou à tout endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie est associé un polynôme appelé polynôme caractéristique.
Il renferme d'importantes informations sur la matrice ou sur l'endomorphisme, comme ses valeurs propres, son déterminant et sa trace (TRACE est un télescope spatial de la NASA conçu pour étudier la connexion entre le champ magnétique à petite échelle du Soleil et la géométrie du plasma coronal, à travers des images haute...).

Motivation (La motivation est, dans un organisme vivant, la composante ou le processus qui règle son engagement dans une action ou expérience. Elle en détermine le déclenchement dans une certaine direction avec l'intensité souhaitée...)

Étant donné une matrice carrée M d'ordre n, nous voulons trouver un polynôme (En mathématiques, un polynôme est la combinaison linéaire des puissances d'une variable, habituellement notée X. Ces objets sont largement utilisés en pratique, ne...) dont les racines sont précisément les valeurs propres de M.

Si M est une matrice diagonale (En algèbre linéaire, une matrice diagonale est une matrice carrée dont les coefficients en dehors de la diagonale principale sont nuls. Les coefficients de la...) ou plus généralement une matrice triangulaire (En algèbre linéaire, les matrices triangulaires sont des matrices carrées dont une partie triangulaire des valeurs, délimitée par la diagonale principale, est...), alors les valeurs propres de M, λ1, ..., λn sont les coefficients diagonaux de M et nous pouvons définir le polynôme caractéristique (En algèbre linéaire, à toute matrice carrée ou à tout endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie est associé un polynôme appelé polynôme...) comme étant

(X-\lambda_1)(X-\lambda_2)\ldots(X-\lambda_n)\quad

Nous remarquons que ce polynôme est le déterminant det(XInM)In est la matrice unité.

Pour une matrice quelconque M, nous pouvons voir que si λ est une valeur propre (En mathématiques, le concept de vecteur propre est une notion algébrique s'appliquant à une application linéaire d'un espace dans lui-même. Il correspond...) de M, alors il existe une colonne propre V non nulle tel que MV = λV, soit (λIn-M)V = 0 (où In est la matrice unité.) Puisque V est non nulle, cela implique que la matrice λIn-M est singulière, et donc a son déterminant nul. Nous venons de démontrer que les valeurs propres de M sont des zéros de la fonction λ ? det(λ·In − M) ou des racines du polynôme det(XInM).

Définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) formelle

Soit M une matrice carrée d'ordre n à coefficients dans un anneau commutatif. Le polynôme caractéristique de M, noté pM(X), est le polynôme défini par

p_M(X)=\det(XI_n-M)\quad

In désigne la matrice unité d'ordre n. pM est bien un polynôme puisque le déterminant d'une matrice est défini comme une somme de produits.

Remarque
Certains auteurs définissent le polynôme caractéristique comme étant det(MXIn), mais cela n'a aucune importance puisque les deux polynômes diffèrent seulement d'un signe. Nous avons choisi l'autre définition afin que le polynôme caractéristique soit unitaire.

Exemple

Supposons que nous voulions déterminer le polynôme caractéristique de la matrice

M=\begin{pmatrix} 2 & 1\\ -1& 0 \end{pmatrix}

Nous devons calculer le déterminant de la matrice

XI_2-M = \begin{pmatrix} X-2&-1\\ 1&X \end{pmatrix}

et celui-ci est égal à

(X-2)(X)-1(-1) = X^2-2X+1\quad

Ce dernier polynôme est le polynôme caractéristique de M.

On peut aussi utiliser la formule

X^2  - \operatorname{tr}(M)X + \det(M)\quad

pour le cas d'une matrice de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une pièce de révolution.) (2,2).

Propriétés

Le polynôme pM(t) est unitaire (son coefficient (En mathématiques un coefficient est un facteur multiplicatif qui dépend d'un certain objet, comme une variable (par exemple, les coefficients d'un polynôme), un espace vectoriel, une fonction de base et ainsi de suite....) dominant est égal à 1) et son degré (Le mot degré a plusieurs significations, il est notamment employé dans les domaines suivants :) est égal à n. La propriété la plus importante des polynômes caractéristiques est que les valeurs propres de M sont exactement les racines du polynôme pX(X) (une implication a été démontrée dans le paragraphe Motivation.) Le coefficient constant pM(0) est égal à (-1)n fois le déterminant de M, et le coefficient de Xn-1 est égal à l'opposé ( En mathématique, l'opposé d’un nombre est le nombre tel que, lorsqu’il est à ajouté à n donne zéro. En botanique, les organes d'une plante sont dits opposés lorsqu'ils sont insérés au même niveau, l'un en face de...) de la trace de M.

Pour une matrice M d'ordre 2, le polynôme caractéristique s'exprime simplement comme

X^2 - \operatorname{tr}(M)X+ \det(M)

où tr(M) représente la trace de la matrice de M et det(M) le déterminant de M.

Pour une matrice A d'ordre 3, le polynôme caractéristique s'exprime simplement comme

X^3 - \operatorname{tr}(A)X^2 + Z(A)X - \det(A)

Z(A)= -\frac{1}{2}\Bigl(\operatorname{tr}(A^2) - \bigl(\operatorname{tr}(A)\bigr)^2\Bigr) = (a_{1,1}  a_{2,2} + a_{1,1}  a_{3,3} + a_{2,2}  a_{3,3} ) - ( a_{2,1}  a_{1,2} + a_{3,1}  a_{1,3} + a_{3,2}  a_{2,3}),

avec ai,j l'élèment en position (i, j) dans la matrice A.

De façon générale, à l'ordre n, seuls les termes d'ordre maximum sont intéressants, et on a:

X^n - \operatorname{tr}(A) \times X^{n-1} + ... + (-1)^n \times \det(A)

Le théorème de Cayley-Hamilton (En algèbre linéaire, le théorème Cayley-Hamilton (qui porte les noms des mathématiciens Arthur Cayley et William Hamilton) affirme que tout endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie sur un corps quelconque annule son...) affirme qu'en remplaçant X par M dans pM(X), on obtient la matrice nulle: pM(M) = 0. Ce qui signifie que le polynôme caractéristique est un polynôme annulateur de M. Par conséquent, il est possible de démontrer que le polynôme minimal (Le polynôme minimal est un outil qui permet d'utiliser des résultats de la théorie des polynômes à l'algèbre linéaire. Il est en effet possible d'appliquer un polynôme à un endomorphisme, comme expliqué dans l'article intérêt du...) divise le polynôme caractéristique de M.

Deux matrices semblables ont le même polynôme caractéristique. La réciproque (La réciproque est une relation d'implication.) n'est pas vraie en général : deux matrices ayant même polynôme caractéristique ne sont pas nécessairement semblables.

La matrice M et sa transposée ont le même polynôme caractéristique.

Une matrice M est semblable à une matrice triangulaire si et seulement si son polynôme caractéristique peut être complètement (Le complètement ou complètement automatique, ou encore par anglicisme complétion ou autocomplétion, est une fonctionnalité informatique permettant à l'utilisateur...) décomposé en produit de facteurs de degré un à coefficients dans \mathbb{K}.

En fait, M est même semblable à une matrice de Jordan dans ce cas.

Matrice compagnon (En algèbre linéaire, la matrice compagnon du polynôme unitaire)

Soit p(X)=X^n-\sum_{k=1}^n a_{n-k}X^{n-k} un polynôme à cœfficients dans \mathbb{K}. La matrice d'ordre n

M=\begin{pmatrix} 0      & 1      & 0      & \ldots & \ldots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots &        & \vdots \\ \vdots &        & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots &        &        & \ddots & \ddots & 0 \\ 0      & \ldots & \ldots & \ldots & 0      & 1 \\ a_0    & a_1    & a_2    & \ldots &a_{n-2} & a_{n-1} \end{pmatrix}

qui admet p(X) comme polynôme caractéristique (et polynôme minimal), est appelée matrice compagnon du polynôme (ou selon certains ouvrages, sa transposée). Une des méthodes utilisées en calcul numérique (Une information numérique (en anglais « digital ») est une information ayant été quantifiée et échantillonnée, par opposition...) pour calculer des valeurs approchées des racines d'un polynôme est d'en construire la matrice compagnon puis de calculer des valeurs approchées des valeurs propres de cette matrice à l'aide d'une méthode itérative.

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