Courbe brachistochrone
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Le mot brachistochrone désigne une courbe plane sur laquelle un point matériel pesant placé dans un champ de pesanteur uniforme, glissant sans frottement et sans vitesse initiale, présente un temps de parcours minimal parmi toutes les courbes joignant deux points fixés : on parle de problème de la courbe brachistochrone.

Étymologie

Le mot brachistochrone vient du grec brakhisto (" le plus court ") et s'écrit donc avec un i et non un y, et de chronos (" temps "). Elle fut étudiée et nommée ainsi par Jean Bernoulli.

Histoire

La résolution du problème de la courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les segments, les lignes polygonales et les cercles sont des courbes.) brachistochrone passionna les mathématiciens. Isaac Newton (Sir Isaac Newton était un philosophe, mathématicien, physicien et astronome anglais né le 4 janvier 1643 du calendrier grégorien[1] au manoir de Woolsthorpe près de Grantham et mort le 31...) fut mis au défi de le résoudre en 1696 et y serait parvenu en seulement une journée. En fait, la solution fut découverte en même temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) par Leibniz, Newton, L'Hôpital (Un hôpital est un lieu destiné à prendre en charge des personnes atteintes de pathologies et des traumatismes trop complexes pour pouvoir être traités à...), Jean et Jacques Bernoulli : il s'agit d'un arc de cycloïde (La cycloïde droite, aussi appelée roue d'Aristote ou roulette de Pascal, est une courbe plane transcendante, trajectoire d'un point fixé à un cercle qui roule sans glisser sur une droite. Il s'agit donc d'une...) commençant avec une tangente verticale (La verticale est une droite parallèle à la direction de la pesanteur, donnée notamment par le fil à plomb.).

Les méthodes imaginées pour sa résolution amenèrent à développer la branche des mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les transformations. Les...) qu'on appelle le calcul des variations.

Démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou précédemment démontrées à partir de...) de la solution

Démonstration historique (par Bernouilli)

Le chemin le plus court entre deux points est celui que suivrait un rayon de lumière (La lumière est l'ensemble des ondes électromagnétiques visibles par l'œil humain, c'est-à-dire comprises dans des longueurs d'onde de 380nm...). La courbe brachistochrone est donc simplement le trajet suivi par la lumière dans un milieu où la vitesse (On distingue :) augmente selon une accélération (L'accélération désigne couramment une augmentation de la vitesse ; en physique, plus précisément en cinématique,...) constante (l’attraction terrestre g). La loi de la conservation de l’énergie permet d’exprimer la vitesse d’un corps soumis à l’attraction terrestre par:

v=\sqrt{2gh},

h représente la perte d’altitude par rapport au point (Graphie) de départ. Il est à noter que la vitesse ne dépend pas du départ horizontal (Horizontal est une orientation parallèle à l'horizon, et perpendiculaire à la verticale. Une ligne horizontale va « de la...).

La loi de la réfraction (En physique des ondes — notamment en optique, acoustique et sismologie — le phénomène de réfraction est la déviation d'une onde lorsque la vitesse...) indique que tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) au long de sa trajectoire (La trajectoire est la ligne décrite par n'importe quel point d'un objet en mouvement, et notamment par son centre de gravité.) un rayon lumineux obéit à la règle

\frac{\sin{\theta}}{v}=Cste,

θ représente l’angle par rapport à la verticale. En insérant dans cette formule l’expression de la vitesse trouvée plus haut, on constate immédiatement deux choses:

1- Au point de départ, lorsque la vitesse est nulle, l’angle doit nécessairement être nul. Donc la courbe brachistochrone est tangente à la verticale à l’origine.

2- La vitesse est bornée car le sinus (En mathématiques, les fonctions trigonométriques sont des fonctions d'angle importantes pour étudier les triangles et modéliser des phénomènes périodiques. Elles peuvent être définies comme rapports de deux longueurs des...) ne peut être supérieur à 1. Cette vitesse maximum est atteinte quand la particule (ou le rayon) passe par l’horizontale (ce " passage " pouvant être asymptotique.)

Sans restreindre la généralité du problème, on va supposer que la particule part du point de coordonnées (0,0) et que la vitesse maximum est atteinte à l’altitude –D. La loi de la réfraction s’exprime alors par:

\frac{\sin{\theta}}{\sqrt{-2gy}}=\frac{1}{\sqrt{2gD}}.

Sachant que la particule se déplace sur une courbe, on a la relation :

\sin{\theta}=\frac{dx}{\sqrt{dx^2+dy^2}}.

En insérant cette expression dans la formule précédente et en réarrangeant les termes on trouve:

\begin{pmatrix}\frac{dy}{dx}\end{pmatrix}^2=-\frac{D+y}{y}.

Ce qui est l’équation différentielle de l’opposée d’une cycloïde, générée par un cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est...) de diamètre (Dans un cercle ou une sphère, le diamètre est un segment de droite passant par le centre et limité par les points du cercle ou de la...) D.

Démonstration avec le Calcul des variations

On note C(t) = (x(t),y(t)) la courbe recherchée, paramétrée par t. L'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste...) cartésienne est y = f(x) (on exclut les courbes ayant des parties verticales). On exprime un déplacement ( En géométrie, un déplacement est une similitude qui conserve les distances et les angles orientés. En psychanalyse, le déplacement est...) infinitesimal sur la courbe:

ds = \sqrt{(dx)^2 + (dy)^2}. Si on pose que la dérivée (La dérivée d'une fonction est le moyen de déterminer combien cette fonction varie quand la quantité dont elle dépend, son argument, change. Plus...) de la courbe est y'=\frac{\partial y(t)}{\partial x(t))}, on a: ds = \sqrt{1 + (y')^2}dx.

Mais, d'autre part, on a toujours, en vertu du théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement...) de l'énergie cinétique (L'énergie cinétique (aussi appelée dans les anciens écrits vis viva, ou force vive) est l’énergie que possède un corps du fait de son mouvement....), la relation suivante:

v = \frac{ds}{dt} = \sqrt{2gy}.

On peut alors exprimer le temps de parcours infinitésimal dt:

dt = \sqrt{\frac{1+{y'}^2}{2gy}} dx. Donc T = \int_{x_a}^{x_b}\sqrt{\frac{1+{y'}^2}{2gy}} dx. Avec T le temps de parcours (à minimiser), xa et xb les abscisses de départ et d'arrivée.

Il s'agit donc de trouver le minimum de la fonctionnelle (En mathématiques, le terme fonctionnelle se réfère à certaines fonctions. Initialement, le terme désignait les fonctions qui en prennent d'autres en argument. Aujourd'hui, le terme a été étendu,...) F : y\mapsto \int_{x_a}^{x_b}\sqrt{\frac{1+{y'}^2}{2gy}} dx. Les points critiques d'une telle fonctionnelle sont donnés par l'équation d'Euler-Lagrange. Après calcul et simplification, on obtient que y est un point critique de F si :

\frac{1}{\sqrt{2gy} \sqrt{1 + {y'}^2}}=C.

On obtient donc l'équation différentielle \left[ 1 + {y'}^2 \right] y = k^2

Résolution de l'équation différentielle et solution

Pour résoudre \left[ 1 + {y'}^2 \right] y = k^2, on procède au changement de variable (En mathématiques et en logique, une variable est représentée par un symbole. Elle est utilisée pour marquer un rôle dans une formule, un prédicat ou un algorithme. En...) suivant:

y'= \operatorname{cotan}\left( \frac{\theta}{2} \right). Dans ce cas, on obtient l'équation paramétrique de la courbe solution:

x(\theta) = k\left(\theta - \sin(\theta)\right),

y(\theta) = k\left(\cos(\theta) -1\right)

Il s'agit de la cycloïde sous sa forme paramétrée:

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