Développante du cercle
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Développante du cercle
Développante du cercle

La développante du cercle, aussi appelée anti-clothoïde, est une courbe plane développante, c'est-à-dire que ses normales sont les tangentes du cercle.

On en trace (TRACE est un télescope spatial de la NASA conçu pour étudier la connexion entre le champ magnétique à petite échelle du Soleil et la géométrie du plasma coronal, à...) souvent sans le savoir : lorsque l'on déroule un fil sous tension (La tension est une force d'extension.) d'une bobine circulaire, la main (La main est l’organe préhensile effecteur situé à l’extrémité de l’avant-bras et relié à ce...) décrit la développante du cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est appelée...) de la bobine.

Elle fut d'abord étudiée par Huygens lorsqu'il cherchait à concevoir des horloges sans pendule (Le mot pendule (nom masculin) nous vient d'Huygens et du latin pendere. Il s'agit donc à l'origine d'un système oscillant sous l'effet de la pesanteur. Parmi les célèbres...) pour une utilisation sur un bateau (Un bateau est une construction humaine capable de flotter sur l'eau et de s'y déplacer, dirigé ou non par ses occupants. Il répond aux besoins du transport maritime ou fluvial, et permet diverses activités telles que le...) en mer (Le terme de mer recouvre plusieurs réalités.). Il utilisa la développante du cercle dans une tentative de forcer le pendule à se balancer selon le tracé d'une cycloïde (La cycloïde droite, aussi appelée roue d'Aristote ou roulette de Pascal, est une courbe plane transcendante, trajectoire d'un point fixé à un cercle qui roule sans glisser sur une droite. Il s'agit donc d'une...).

Définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) mathématique

La courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les segments, les lignes polygonales et les cercles sont des courbes.) peut être définie paramétriquement par l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer toutes les façons de donner à...) suivante :

\begin{cases}x(t)=k(\cos{t} +t\,\sin{t}) \\y(t)=k(\sin{t} - t\,\cos{t} )\end{cases}

On peut également la définir par une équation intrinsèque :

R_c^2=2k\,s, où Rc représente le rayon de courbure (Intuitivement, courbe s'oppose à droit : la courbure d'un objet géométrique est une mesure quantitative du caractère « plus ou moins courbé » de cet objet. Par...) et s l'abscisse curviligne.

Propriétés et applications

Si on fait rouler sans glisser une droite sur un cercle, chaque point (Graphie) de cette droite décrit, relativement au cercle, une développante de cercle.

On peut aborder la développante de cercle selon une approche cinématique : il s'agit dans ce cas d'une courbe qui, parcourue d’un mouvement uniformément varié, est telle que la vitesse (On distingue :) de rotation est constante. On comprend alors le nom d'anti-clothoïde, puisque la clothoïde (La clothoïde est une courbe transcendante plane dont la courbure est proportionnelle à l'abscisse curviligne.), elle, est la courbe qui, parcourue d’un mouvement uniforme, est telle que la vitesse de rotation est linéaire.

Engrenage au profil en développante de cercle
Engrenage au profil en développante de cercle

Les dents des engrenages droits ont un profil en segment de développantes de cercle : cela assure un rapport de vitesse constant et une transmission d'énergie (Dans le sens commun l'énergie désigne tout ce qui permet d'effectuer un travail, fabriquer de la chaleur, de la lumière, de produire un mouvement.) optimum entre les engrenages, puisqu'au point de contact entre deux dents, la tangente au profil est commune aux deux dents. Parmi les autres propriétés remarquables des engrenages à développante, on peut citer les suivantes :

  1. Si une dent (Une dent est un organe enveloppé d'os, dur, blanchâtre, généralement composé d'une couronne libre et d'une ou plusieurs racines implantées dans la...) d'engrenage à développante entre en action avec une dent conjuguée du même profil, en rotation à taux uniforme, le mouvement angulaire de la roue (La roue est un organe ou pièce mécanique de forme circulaire tournant autour d'un axe passant par son centre.) menée est aussi uniforme, même quand on fait varier l'entraxe.
  2. Le taux de mouvement relatif entre la roue (La roue est un organe ou pièce mécanique de forme circulaire tournant autour d'un axe passant par son centre.) menée et la roue menante d'un engrenage à développante est établi par les diamètres de leurs cercles de base.
  3. Le contact entre les dents conjuguées à développante sur des roues menées et menantes se produit le long d'une droite tangente aux cercles de base de ces roues. C'est ce qu'on appelle la ligne d'action.
  4. L'usure des surfaces actives est plus régulièrement répartie.
  5. Les vibrations sont plus faibles qu'avec un autre profil.
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