Polytope
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Un polytope en dimension 3
Un polytope en dimension 3

En géométrie, un polytope est la généralisation à toutes dimensions de la notion de polygone pour deux dimensions et de polyèdre pour trois dimensions. Ce terme est aussi utilisé pour une large variété de concepts mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les transformations. Les mathématiques...) reliés entre eux. Par analogie, le terme de carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses quatre côtés ont la même longueur et ses quatre angles la même mesure. Un...) peut être utilisé pour indiquer une région de forme carrée du plan ou juste sa frontière (Une frontière est une ligne imaginaire séparant deux territoires, en particulier deux États souverains. Le rôle que joue une frontière peut fortement varier...), ou même la liste de ses sommets et de ses arêtes ainsi que de l'information sur leurs connexions. Le terme de polytope (En géométrie, un polytope est la généralisation à toutes dimensions de la notion de polygone pour deux dimensions et de polyèdre pour trois dimensions. Ce terme est aussi utilisé pour...) a été inventé par Alicia Boole Stott, la fille du logicien George Boole (George Boole (2 novembre 1815 à Lincoln Royaume-Uni - 8 décembre 1864 à Ballintemple, Irlande) est un logicien,...).

Les polyèdres réguliers étaient un sujet d'étude majeur chez les anciens mathématiciens grecs (principalement Euclide), probablement à cause de leurs qualités esthétiques. De nos jours (Le jour ou la journée est l'intervalle qui sépare le lever du coucher du Soleil ; c'est la période entre deux nuits, pendant laquelle les rayons du...), les polytopes ont de nombreuses applications dans les domaines de la programmation linéaire (En mathématiques, les problèmes de programmation linéaire (PL) sont des problèmes d'optimisation où la fonction objectif et les contraintes sont...) ou en infographie (L'infographie (aussi appelée faussement image de synthèse, terme qui se rapporte plus spécifiquement à la création d'images à vocation...) notamment.

Une classe importante de polytopes est celle du polytope convexe (En géométrie, un objet est convexe si pour toute paire de points { A , B } de cet objet, le segment [AB] qui les joint est entièrement contenu dans l'objet. Par exemple, un cube plein, un disque ou une boule sont convexes, mais un objet creux ou...) qui peut être défini comme l'enveloppe convexe (En mathématiques, l'enveloppe convexe d'un objet ou d'un ensemble d'objets est l'ensemble convexe de taille minimale qui contient ces objets. L'enveloppe convexe d'un ensemble...) d'un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) fini de points. Le polytope convexe le plus simple que l'on puisse construire est le simplexe constitué de n+1 sommets dans un espace de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son...) n.

Les polytopes convexes peuvent également être définis comme l'intersection bornée d'un nombre fini de demi-espaces. L'égalité des deux représentation est prouvée par le Théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir d'axiomes. Un...) de Minkowski-Weyl.

Pour toute enveloppe convexe dans un espace de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une...) n, on peut prendre des sous-ensembles de sommets linéairements indépendants et définir des n-simplexes à partir de ces sommets. En fait, il est toujours possible de décomposer un polytope convexe en simplexes de sorte que leur union soit le polytope original, et que leurs intersections deux à deux soient l'ensemble vide (En mathématiques, l'ensemble vide est l'ensemble ne contenant aucun élément.) ou un s-simplexe (avec s < n).

Par exemple : dans le plan, un carré (l'enveloppe convexe de ses sommets) est l'union de deux triangles (2-simplexes) dont l'intersection est la diagonale (On appelle diagonale d'un polygone tout segment reliant deux sommets non consécutifs (non reliés par un côté). Un polygone à n côtés possède diagonales.) du carré (1-simplexe).

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