Extremum
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L'expression " élément extremum " signifie " élément maximum " ou " élément minimum ".

Dans un ensemble ordonné, le plus grand élément (resp. plus petit élément) ou élément maximum (resp. élément minimum) d'une partie de cet ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme...) est l'élément qui, quand il existe, appartient à cette partie et est supérieur (resp. inférieur) à tous autres éléments de la partie.

Propriétés

Le plus grand (resp. plus petit) élément d'une partie est donc en particulier :

  1. un élément maximal (resp. élément minimal) de la partie
  2. un majorant (resp. minorant) de la partie
  3. la borne supérieure (resp. borne inférieure) de la partie

... mais les réciproques sont fausses. On peut néanmoins énoncer les théorèmes suivants :

  • Si une partie admet un plus grand élément (resp. plus petit élément), alors il n'y a qu'un seul élément maximal (resp. minimal) et c'est le plus grand élément (resp. plus petit élément) de la partie.
  • Si une partie admet un majorant (resp. minorant) qui appartient à cette partie, alors la partie admet un plus grand élément (resp. plus petit élément) qui est précisément ce majorant (resp. minorant).

Exemple

  • Prenons pour ensemble ordonné E l'ensemble des intervalles réels ordonnés par la relation d'inclusion.
  • Choisissons comme partie P à étudier, l'ensemble des intervalles inclus dans [-1; 0 [\cup]0 ; 1].
  • Tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) élément de P inclut l'ensemble vide (En mathématiques, l'ensemble vide est l'ensemble ne contenant aucun élément.), donc l'ensemble vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.) est un minorant de P. Or l'ensemble vide est élément de P, c'est donc aussi sa borne inférieure et son plus petit élément.
  • Tout élément de P est inclus dans l'intervalle [-1 ; 1] qui est élément de E mais pas de P. Donc [-1 ; 1] est un majorant de P, mais pas son plus grand élément. Malgré tout, c'est son plus petit majorant, donc sa borne supérieure.
  • Il n'existe aucun élément de P qui soit supérieur à ]0 ; 1]. ]0 ; 1] est donc un élément maximal de P. Mais il existe des éléments de P qui ne lui sont pas comparables, par exemple [1/2 ; 3/2]. Donc ]0 ; 1] n'est pas le plus grand élément de P. Et pour cause, il existe un autre élément maximal distinct : [-1 ; 0[, donc P n'a pas de plus grand élément !

Extremum (L'expression « élément extremum » signifie « élément maximum » ou « élément minimum ».) d'une fonction

Soient ( F, ≤ ) un ensemble totalement ordonné (Soit E un ensemble muni d'une relation d'ordre . Rappelons que toute relation d'ordre vérifie les propriétés suivantes:) et f une fonction de l'ensemble E vers l'ensemble F.

Notons D, l'ensemble de définition (En mathématiques, l' ensemble de définition D f  d'une fonction  f  dont l' ensemble de départ est noté  E  et l' ensemble d'arrivée  F , est l'ensemble des antécédents de f, c'est-à-dire l'ensemble des...) de f et soit a un élément quelconque de D.

On rappelle que si A est une partie de D ou D lui-même, alors la notation f(A) désigne l'image de A par la fonction f.

Extremum global d'une fonction

Un " extremum global de f " est un " maximum global de f " ou un " minimum global de f ".

Maximum global

On dit que f(a) est le " maximum " ou le " maximum global " de f si et seulement si pour tout élément x de D, on a f(x)f(a).

Cela équivaut à dire que f(a) est le plus grand élément de f(D).

Minimum global

On dit que f(a) est le " minimum " ou le " minimum global " de f si et seulement si pour tout élément x de D, on a f(a)f(x).

Cela équivaut à dire que f(a) est le plus petit élément de f(D).

Extremum local d'une fonction

La notion d'extremum local suppose définie sur D une structure topologique (donnant un sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution...) précis à l'adjectif local). Dès lors, un " extremum local de f sur D " est un " maximum local de f sur D " ou un " minimum local de f sur D ".

Maximum local

Soit D un espace topologique (En mathématiques, les espaces topologiques permettent de définir dans un contexte très général des concepts comme la convergence, la continuité et la connexité. Ces concepts apparaissent dans presque toutes les branches des...). Étant donné un point (Graphie) a de D, on dit que f atteint en a un maximum local s'il existe un voisinage (La notion de voisinage correspond à une approche axiomatique équivalente à celle de la topologie. La topologie traite plus naturellement les notions globales...) V de a tel que pour tout élément x de V, on ait f(a)f(x).
On dit alors que f(a) est un " maximum local " de f sur D.

Minimum local

Soit D un espace topologique. Étant donné un point a de D, on dit que f atteint en a un minimum local s'il existe un voisinage V de a tel que pour tout élément x de V, on ait f(a)f(x).
On dit alors que f(a) est un " minimum local " de f sur D.

Méthodes usuelles de recherche (La recherche scientifique désigne en premier lieu l’ensemble des actions entreprises en vue de produire et de développer les connaissances scientifiques. Par extension métonymique, la recherche...) des extremums d'une fonction

La notion d'extremum d'une fonction est surtout intéressante en analyse lorsque l'ensemble d'arrivée F est l'ensemble totalement ordonné \R des nombres réels. Dans ce cas, le calcul différentiel (Un différentiel est un système mécanique qui a pour fonction de distribuer une vitesse de rotation de façon adaptative aux besoins d'un ensemble mécanique.) est un moyen efficace de recherche des extremums locaux.

On cite ici quelques méthodes essentielles, en se limitant aux fonctions à valeurs réelles d'une ou plusieurs variables réelles.

Cas des fonctions réelles d'une variable (En mathématiques et en logique, une variable est représentée par un symbole. Elle est utilisée pour marquer un rôle dans une formule, un prédicat ou un algorithme. En statistiques, une variable peut aussi...) réelle

Soit une fonction f : I \to\R, où I est un intervalle de \R non réduit à un point. Un point est intérieur à I si et seulement si c'est un élément de I qui n'est pas une borne de l'intervalle.

  • Existence d'extremums globaux (théorème des bornes) :
si I est fermé borné et si f est continue, alors f admet sur I un maximum global et un minimum global.
  • Condition nécessaire pour un extremum local :
si f atteint un extremum local en un point a intérieur à I et si elle est dérivable en ce point, alors \ f\,'(a) = 0.
  • Condition suffisante pour un extremum local :
Si f est dérivable sur I, et si a est un point intérieur à I où la dérivée (La dérivée d'une fonction est le moyen de déterminer combien cette fonction varie quand la quantité dont elle dépend, son argument, change. Plus précisément, une dérivée est une expression (numérique...) de f s'annule en changeant de signe, alors f atteint un extremum local en a. Plus précisément, en supposant \ f\,'(a) = 0 :
S'il existe α réel strictement positif tel que [a-\alpha,\, a + \alpha] \subset I
et f\,' \geq 0 sur [a-\alpha,\, a], f\,' \leq 0 sur [a,\, a + \alpha],
alors f atteint un maximum local en a.
S'il existe α réel strictement positif tel que [a-\alpha,\, a + \alpha] \subset I
et f\,' \leq 0 sur [a-\alpha,\, a], f\,' \geq 0 sur [a,\, a + \alpha],
alors f atteint un minimum local en a.
Remarque

La condition nécessaire pour un extremum local ne s'applique pas aux bornes de l'intervalle. Par exemple, la fonction

f : [0, 1] \to\R,\, x \mapsto x

admet deux extremums globaux (a fortiori locaux), atteints en 0 et 1. Par ailleurs, elle est dérivable et sa dérivée ne s'annule en aucun point.

Cas des fonctions réelles de plusieurs variables réelles

Soit une fonction f : A \to\R, x = (x_1,\, \dots,\, x_n) \mapsto f(x) = f(x_1,\, \dots,\, x_n), où A est une partie non vide de \R^n.

  • Existence d'extrema globaux (théorème des bornes) :
si A est fermé borné et si f est continue, alors f admet sur A un maximum global et un minimum global.
  • Condition nécessaire pour un extremum local :
On suppose ici que A est un ouvert, et que f est de classe C1 sur A.
Si f atteint un extremum local en un point a de A, alors \nabla f(a) = 0 : le gradient de f en ce point est nul.
Rappel : par définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.), le gradient de f en a est le vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un scalaire. Un...) de \R^n : \nabla f(a) = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}(a),\, \dots,\, \frac{\partial f}{\partial x_n}(a) \right).
  • Condition suffisante pour un extremum local :
On suppose ici que A est un ouvert, et que f est de classe C2 sur A.
On considère un point a de A. La (matrice) hessienne de f en a est notée \nabla^2 f(a) ; elle est symétrique réelle.
Si \nabla f(a) = 0 et si \nabla^2 f(a) est définie négative, alors f atteint un maximum local en a.
Si \nabla f(a) = 0 et si \nabla^2 f(a) est définie positive, alors f atteint un minimum local en a.
Rappel : par définition, la hessienne de f en a est la matrice carrée d'ordre n ayant \frac{\partial^2 f}{\partial x_i\, \partial x_j}(a) pour élément en ligne i et colonne j.
Comme f est de classe C2, il résulte du théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à...) de Schwarz sur les dérivées partielles d'ordre 2 que la hessienne est symétrique.

Fonction optimum de deux fonctions

Les fonctions minimum et maximum de deux fonctions peuvent être définies à l'aides (AIDES est une association française de lutte contre le VIH/Sida et les Hépatites virales, créée en 1984 et reconnue d'utilité publique depuis 1990. L'association...) de valeurs absolues :

\operatorname{min} \left(f,g \right)=\frac{f+g-|f-g|}{2}

\operatorname{max} \left(f,g \right)=\frac{f+g+|f-g|}{2}

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