Trisection de l'angle
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La trisection de l'angle est un problème classique de mathématiques. C'est un problème géométrique, faisant partie des trois grands problèmes de l'Antiquité, avec la quadrature du cercle et la duplication du cube. Ce problème consiste à diviser un angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.) en trois parties égales, à l'aide d'une règle et d'un compas.

S'il est facile de partager un angle en deux en construisant sa bissectrice (La bissectrice d'un secteur angulaire est la demi-droite issue du sommet de l'angle qui partage cet angle en deux angles adjacents de même mesure. Elle forme de ce...), s'il est aisé de partager l'angle droit en trois à l'aide de triangles équilatéraux, beaucoup de mathématiciens ont longtemps cherché, en vain, une méthode géométrique pour réaliser la trisection d'un angle quelconque. Dès le IIIe siècle av. J.-C., Archimède proposa une méthode par ajustement. Au IIe siècle av. J.-C., Nicomède conçut la conchoïde de droite pour s'approcher de la solution. Mais en 1837, Pierre-Laurent Wantzel démontra un théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique...) qui permit d'exhiber la forme des équations des problèmes impossibles à résoudre à la règle et au compas. L'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre...) de la trisection de l'angle étant de cette forme, la construction est donc impossible à réaliser selon ces règles.

Pliage pour la trisection

La trisection de l'angle est en revanche réalisable en pliant une feuille (La feuille est l'organe spécialisé dans la photosynthèse chez les végétaux supérieurs. Elle est insérée sur les tiges des plantes au niveau des...) de papier (Le papier (du latin papyrus) est une matière fabriquée à partir de fibres cellulosiques végétales et animales. Il se présente sous forme de feuilles minces et est considéré comme un matériau...), par une construction due à Hisashi Abe (1980), qu'illustre la figure ci-contre :

  • On trace (TRACE est un télescope spatial de la NASA conçu pour étudier la connexion entre le champ magnétique à petite échelle du Soleil et la géométrie du plasma coronal,...) la droite d passant par le coin A de la feuille de sorte qu'elle forme, avec le bord inférieur h0 de la feuille, l'angle à couper en trois.
  • Deux bandes horizontales de même largeur (La largeur d’un objet représente sa dimension perpendiculaire à sa longueur, soit la mesure la plus étroite de sa face. En géométrie plane, la largeur est la plus...) (arbitraire) sont tracées en bas de la feuille (ceci peut se faire facilement par pliage.) On appelle h1 et h2 les nouvelles droites qui les délimitent.
  • Il faut maintenant plier la feuille le long d'un pli p de sorte que le coin A se trouve déplacé sur la droite h1 (en un point (Graphie) A'), en même temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) que le point B (intersection du bord gauche avec la droite h2) se trouve déplacé sur la droite d en un point B'.
  • La droite t passant par A et A' est alors la trisectrice de l'angle donné: l'angle formé par h0 et t vaut 1/3 de l'angle formé par h0 et d.

La preuve est élémentaire et nécessite des théorèmes sur les quadrilatères, les angles alterne-interne (Définition :) ou correspondants et la symétrie axiale.

Il existe une méthode équivalente à ce pliage utilisant une équerre.

La relation entre la construction géométrique et la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative,...) algébrique est développée (En géométrie, la développée d'une courbe plane est le lieu de ses centres de courbure. On peut aussi la décrire comme l'enveloppe de la famille...) dans l'article Nombre constructible (Un nombre constructible à la règle et au compas est la mesure d'une longueur associée à deux points constructibles à la règle et au compas.). Les démonstrations algébriques se trouve dans l'article Tour d'extension quadratique.

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