Extension quadratique - Définition

Introduction

En mathématiques, et plus précisément en algèbre dans le cadre de la théorie de Galois, une extension quadratique est une extension de corps de dimension deux. Si K est un corps commutatif, souvent celui des nombres rationnels, alors une extension quadratique L est un corps contenant K et un espace vectoriel sur K de dimension deux.

Une extension quadratique est le cas le plus simple d'extension de corps. Elle possède de nombreuses propriétés, c'est une extension simple algébrique et un corps de décomposition si le corps n'est pas de caractéristique deux. L'extension est séparable, normale et donc galoisienne et même abélienne.

La notion d'extension quadratique possède de nombreuses applications, on peut citer la Théorie de Kummer ou la notion de tour d'extension quadratique utilisée pour la démonstration du Théorème de Gauss-Wantzel ou la résolution de l'équation cyclotomique dans le cas d'une racine primitive n-ième de l'unité où n est un nombre premier de Fermat.

Motivations

Une extension quadratique correspond au cas le plus simple d'extension algébrique. Il correspond au cas où l'extension est réalisée à partir d'un unique élément dont le carré est combinaison de lui-même et d'un élément du corps de base.

De plus, à la condition que le corps soit commutatif et ne soit pas de caractéristique 2, c’est-à-dire si la somme de l'unité avec elle-même n'est pas égale à zéro, alors une telle extension possède toutes les bonnes propriétés des extensions de Galois. Il est possible d'établir tous les résultats principaux de la théorie avec des démonstrations largement plus simples. Cette théorie dépasse donc le cadre des extensions sur le corps des nombres rationnels ou réels.

Une première application a été trouvée par Carl Friedrich Gauss en 1801 pour l'étude des polygones constructible à la règle et au compas. Les propriétés des extensions quadratiques permettent de déterminer un algorithme pour chaque polygone constructible (cf Polynôme cyclotomique). Les propriétés des extensions quadratiques sont utilisées alors dans un cas particulier, celui de la tour d'extension quadratique.

Cette théorie possède de plus de nombreuses applications en théorie des nombres comme par exemple la théorie de Kummer. Dans ce domaine, il existe encore des problèmes ouverts qui font l'objet de recherche.

Dans la suite de l'article le corps de base est noté K, il ne possède que deux propriétés spécifiques, il est commutatif et sauf indication contraire, il n'est pas de caractéristique deux.

Exemples

• L'exemple le plus connu est probablement l'extension quadratique des nombres réels égale au corps des nombres complexes.

• L'ensemble des combinaisons linéaires de l'unité et √2 sur le corps des nombres rationnels est une extension quadratique. Cet exemple est étudié dans l'article sur les extensions algébriques.

• Soit F₃ le corps Z/3Z. Considérons le polynôme formel P(X)= X ² + 1. Un polynôme formel est un polynôme construit non pas à l'aide d'une variable, mais d'une indéterminée. Dans F₃ les fonctions polynômes x³ et x sont confondues, les polynômes formels X³ et X ne le sont pas par définition. Il est aisé de vérifier que ce polynôme n'admet pas de racine dans F₃. En effet, les classes de 1 et de 2 ont pour carré 1, et 0 a pour carré 0, le polynôme est donc irréductible. Considérons le quotient de l'anneau des polynômes F₃[X] avec son idéal engendré par P[X]. C'est un anneau, cet anneau est non seulement un corps fini mais aussi une extension quadratique de F₃. Pour le vérifier il suffit de vérifier que l'idéal engendrée par P(X) est maximal. Comme F₃ est un corps, F₃[X] est un anneau euclidien donc principal. Pour ce type d'anneau, un idéal est maximal si et seulement s'il est idéal premier, or tout idéal engendré par un élément irréductible est premier si l'anneau est principal. Cette technique permet de construire un corps à neuf éléments.