Paradoxe du menteur
Source: Wikipédia sous licence CC-BY-SA 3.0.
La liste des auteurs de cet article est disponible ici.

Le paradoxe du menteur est dérivé du paradoxe du Crétois (ou paradoxe d'Épiménide). Sous sa forme la plus concise, il s'énonce :

On peut y voir deux interprétations :

  • en tant qu'énoncé, cette phrase dit : " Cette phrase est fausse. "
  • en tant que propos, il faut comprendre : " Je mens maintenant. "

Histoire

La plus ancienne trace (TRACE est un télescope spatial de la NASA conçu pour étudier la connexion entre le champ magnétique à petite échelle du Soleil et la géométrie du plasma coronal, à travers des images haute résolution...) de ce paradoxe (Un paradoxe est une proposition qui contient ou semble contenir une contradiction logique, ou un raisonnement qui, bien que sans faille apparente, aboutit à une absurdité, ou encore, une situation qui...) est relatée dans la Bible :

" Quelqu'un d'entre eux, leur propre prophète, a dit : Les Crétois sont toujours menteurs, de méchantes bêtes, des ventres paresseux. "
l'épître à Tite, Paul de Tarse.

Ce prophète, qui vécut au VIIe siècle av. J.-C., serait Épiménide le Crétois. Toutefois, cette première formulation (La formulation est une activité industrielle consistant à fabriquer des produits homogènes, stables et possédant des propriétés spécifiques, en mélangeant différentes matières...) du paradoxe du menteur n'est apparue paradoxale que bien plus tard ; lorsqu'au IVe siècle av. J.-C., Eubulide de Milet énonça

" Un homme (Un homme est un individu de sexe masculin adulte de l'espèce appelée Homme moderne (Homo sapiens) ou plus simplement « Homme ». Par distinction, l'homme prépubère est appelé un...) disait qu'il était en train (Un train est un véhicule guidé circulant sur des rails. Un train est composé de plusieurs voitures (pour transporter des personnes) et/ou de plusieurs wagons (pour transporter des...) de mentir. Ce que l'homme disait est-il vrai ou faux ? "

De nombreuses formulations virent le jour (Le jour ou la journée est l'intervalle qui sépare le lever du coucher du Soleil ; c'est la période entre deux nuits, pendant laquelle les rayons du Soleil éclairent le...), par la suite. Parmi les plus récentes

" Épiménide, penseur crétois, émit une affirmation immortelle : Tous les Crétois sont des menteurs. "
Gödel, Escher, Bach, Douglas Hofstadter, page 19.

Tentatives d'explications

Attribuons à Épiménide le Crétois le propos " Tous les Crétois sont des menteurs." Épinémide étant Crétois lui-même, si cette affirmation est vraie, alors Épiménide est un menteur, donc son affirmation est fausse : contradiction ! En fait, il n'y a pas vraiment de paradoxe : tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) ce qu'on peut déduire de la citation d'Épiménide, c'est qu'elle est fausse ; en particulier tous les Crétois ne sont pas des menteurs, mais Épiménide, lui, en est un. On résout ainsi le paradoxe en l'étalant dans l'espace.

En fait, la négation de " Tous les Crétois sont des menteurs. " n’est pas : " Tous les Crétois disent la vérité ", mais : " Il existe au moins un Crétois qui dit la vérité " (et il faudrait même dire, dans le sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive allant...) où menteur est utilisé jusqu'ici, " Il existe au moins un Crétois qui dit parfois la vérité "). Donc, il peut exister un ou plusieurs menteurs Crétois.

De manière analogue, la phrase paradoxale : " Je mens toujours " cesse de l'être lorsqu'on l'étale dans le temps : au moment où je dis " Je mens toujours ", je mens nécessairement (sinon, on a le même problème qu'avec Épiménide), ce qui implique que je ne mens pas toujours. Il n'y a pas de contradiction : il m'arrive de mentir, mais pas toujours !

Le paradoxe du menteur devient plus intéressant lorsqu'on en considère la version suivante : " Je mens en ce moment même ". Si la phrase est vraie, alors c'est qu'elle est fausse. Mais si elle est fausse, alors elle devient vraie !

Cela indique que quand une phrase peut se prendre elle-même pour énoncé, cela peut conduire à une situation (En géographie, la situation est un concept spatial permettant la localisation relative d'un espace par rapport à son environnement proche ou non. Il inscrit...) instable (voir pangramme autodescriptif).

Approche par les mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures,...)

Que l'on considère que la phrase " Cette phrase est fausse " n'est ni vraie, ni fausse ou encore qu'il s'agit d'un non-sens, elle réfute dans tous les cas le principe du tiers exclu. Les mathématiques classiques, qui se basent sur le tiers exclu, ne peuvent donc permettre de construire formellement un tel énoncé. Cependant, même avec la restriction du tiers exclu, les énoncés paradoxaux peuvent réapparaître via un codage (De façon générale un codage permet de passer d'une représentation des données vers une autre.) de la logique (La logique (du grec logikê, dérivé de logos (λόγος), terme inventé par Xénocrate signifiant à la...) formelle dans une théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance...) suffisamment riche pour cela, comme l'arithmétique (L'arithmétique est une branche des mathématiques qui comprend la partie de la théorie des nombres qui utilise des méthodes de la géométrie algébrique et de la théorie des groupes. On...) ou la plupart des théories destinées à fonder les mathématiques.

Ainsi Kurt Gödel fait référence explicitement au paradoxe du menteur dans l'article de 1931 sur ses deux célèbres théorèmes d'incomplétude : pour établir la preuve du premier théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir d'axiomes....) d'incomplétude (On parle de complétude en mathématiques dans des sens très différents. On dit d'un objet mathématiques qu'il est complet pour exprimer que rien ne peut lui être ajouté, en un...), il parvient à coder une certaine forme de ce paradoxe du menteur (où cependant la démontrabilité remplace la vérité). Il n'y a plus paradoxe, mais on montre que l'énoncé ainsi construit n'est pas prouvable (et pour d'autres raisons, sa négation ne l'est pas non plus). Le théorème de Tarski (Le théorème de Tarski, ou théorème de non définissabilité de Tarski, peut s'énoncer informellement ainsi : on ne peut définir dans le langage de...) illustre encore plus clairement cette démarche : cette fois il s'agit de montrer que l'on ne peut pas exprimer la vérité dans l'arithmétique, car sinon le paradoxe pourrait s'exprimer et fournirait une contradiction (Une contradiction existe lorsque deux affirmations, idées, ou actions s'excluent mutuellement.).

On peut tenter d'éclaircir le lien entre le paradoxe du menteur et l'incomplétude de certaines théories mathématiques. Quelqu’un dit " je mens ", est-ce qu’il ment ? S’il ment c’est qu’il ne ment pas. S’il ne ment pas c’est qu’il ment. Ce qu’il dit affirme sa propre fausseté. On a vu que ce paradoxe peut être présenté sous une autre forme : la présente phrase qui commence par " la présente phrase " et finit par " est fausse " est fausse, ou plus simplement, cette phrase est fausse.

Une théorie est un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être...) de phrases. On peut la considérer comme une sorte de diseur de vérités. La théorie dit que toutes ses phrases sont vraies. Le paradoxe du menteur prouve qu’il y a des restrictions sur les capacités des diseurs de vérité quand ceux-ci sont capables de formuler des énoncés à propos de ce qu’ils disent. Supposons qu’un diseur de vérité soit capable de répondre par avance à toutes les questions sur ce qu’il va répondre. Posons-lui alors la question " à cette question vas-tu répondre non ? ". Qu’il réponde oui ou non, dans les deux cas il dit faux. Il ne peut donc pas répondre sans se tromper.

Il s’agit d’une incomplétude essentielle pour les théories et les diseurs de vérité. Ils ne peuvent pas dire toute la vérité sur tout ce qu’ils disent à partir du moment où leurs moyens d’expression sont suffisamment riches pour permettre de poser des questions telles que celle qui vient d’être citée. En résumé, dès qu’on peut poser à un diseur de vérité des questions telles que " à cette question vas-tu répondre non ? " il ne peut pas à la fois toujours répondre et toujours dire la vérité.

Page générée en 0.055 seconde(s) - site hébergé chez Amen
Ce site fait l'objet d'une déclaration à la CNIL sous le numéro de dossier 1037632
Ce site est édité par Techno-Science.net - A propos - Informations légales
Partenaire: HD-Numérique