Ensemble flou
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La théorie des ensembles flous est une théorie mathématiques du domaine de l’algèbre abstraite. Elle a été développée par Lotfi Zadeh en 1965 afin de représenter mathématiquement l'imprécision relative à certaines classes d'objets.

Présentation

Les ensembles flous (ou parties floues) ont été introduits afin de modéliser la représentation humaine des connaissances, et ainsi améliorer les performances des systèmes de décision qui utilisent cette modélisation.

Les ensembles flous sont utilisés soit pour modéliser l'incertitude et l'imprécision, soit pour représenter des informations précises sous forme lexicale assimilable par un système expert.

Définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.)

Les parties floues (ou ensembles flous) sont définies comme des ensembles pouvant contenir des éléments de façon partielle.

Propriétés

  • Une partie floue A de B est caractérisée par une application de B dans [0,1]. Cette application, appelée fonction d'appartenance et notée μA représente le degré (Le mot degré a plusieurs significations, il est notamment employé dans les domaines suivants :) de validité de la proposition " x appartient à A " pour chacun des éléments x de B. Si μA(x) = 1, l'objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise, et qui peut être désigné par une étiquette verbale. Il est défini par les...) x appartient totalement à A, et si μA(x) = 0, il ne lui appartient pas du tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.). Pour un élément x donné, la valeur de la fonction d'appartenance μA(x) est appelée degré d'appartenance de l'élément x au sous-ensemble (En mathématiques, un ensemble A est un sous-ensemble ou une partie d’un ensemble B, ou encore B est sur-ensemble de A, si tout élément du sous-ensemble A est aussi élément du sur-ensemble B. Il peut par contre y avoir...) A.
  • Le noyau d'une partie floue A est l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être...) des éléments qui appartiennent totalement à A c'est-à-dire dont le degré d'appartenance à A vaut 1.

n(A)=\left\{x \in B / \mu _{A}(x)=1 \right\} \,

  • Le support d'une partie floue A est l'ensemble des éléments appartenant, même très peu, à A c'est-à-dire dont le degré d'appartenance à A est différent de 0.

supp(A)=\left\{x \in B / \mu _{A}(x)>0 \right\} \,

  • La hauteur (La hauteur a plusieurs significations suivant le domaine abordé.) d'un sous-ensemble flou (La théorie des ensembles flous est une théorie mathématiques du domaine de l’algèbre abstraite. Elle a été développée par Lotfi Zadeh en 1965 afin de...) A de E est définie par h(A)=sup\left\{\mu _{A}(x)/x\in B\right\} \,
  • Une sous-partie floue A de B peut aussi être caractérisée par l'ensemble de ses α-coupes. Une α-coupe d'un ensemble flou (La théorie des ensembles flous est une théorie mathématiques du domaine de l’algèbre abstraite. Elle a été développée par Lotfi Zadeh en 1965 afin de...) A est le sous-ensemble net (classique) des éléments ayant un degré d'appartenance supérieur ou égal à α.
α-coupe(A) = {x \in \,B| μA(x) ≥ α}

Remarques

La théorie des ensembles (La théorie des ensembles est une branche des mathématiques créée initialement par le mathématicien allemand Georg Cantor à la fin du XIXe siècle.) flous est très différente (En mathématiques, la différente est définie en théorie algébrique des nombres pour mesurer l'éventuel défaut de dualité d'une application définie à l'aide de la trace, dans...) de la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée...) des ensembles, quoiqu'elle soit basée sur les fondements des mathématiques (Cet article discute des fondements des mathématiques. Le problème de la fondation, ou des fondements, des mathématiques est celui des principes et de leur vérité. À partir de...).

Une différence importante est que, grâce à l'axiome de fondation (L'axiome de fondation, encore appelé axiome de régularité, est l'un des axiomes de la théorie axiomatique des ensembles. Introduit en 1925 par John von Neumann, il joue un grand rôle dans cette théorie, alors que les mathématiciens ne...), un ensemble fini (En mathématiques, un ensemble E est dit fini si et seulement si E est vide ou s'il existe un entier n et une bijection de E dans l'ensemble des n premiers entiers...) a un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) fini de sous-ensembles alors qu'il a un nombre infini de sous-ensembles flous.

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