Cet article fait partie de la série Mathématiques élémentaires |
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Une inéquation du premier degré à une inconnue est une inéquation où l'inconnue x apparait avec le degré 1 ou 0. Plus généralement, on appelle inéquation du premier degré toute inéquation se ramenant à une inéquation du type précédent par des opérations algébriques simples (voir inéquation (mathématiques élémentaires)
Exemples d'inéquations du premier degré:
Une inéquation du premier degré se résout en isolant l'inconnue dans un des membres de l'inégalité à l'aide des règles élémentaires
Un club de sport propose 3 types de paiement:
1) Pour quel nombre de séances dans le mois, le forfait mensuel est-il plus avantageux que les entrées à l'unité ?
2) Pour quel nombre d'entrées est-il plus avantageux d'acheter une carte de 10 entrées que de payer l'abonnement mensuel ?
Une inéquation du premier degré se ramène toujours à une des cas suivants
On présente souvent l'ensemble des solutions sous forme d'un intervalle de R.
les deux autres intervalles que l'on est amené à rencontrer sont {} ou , et R
Pour tout réel a non nul, la représentation graphique de la droite d'équation y = ax + b confirme et illustre les résultats précédents.
pour a > 0 | pour a < 0 |
Ce qui fait dire que, pour tout a non nul, ax + b est du signe de a après sa racine
On résume ce résultat dans un tableau de signe qui indique, suivant les valeurs de x, le signe de ax + b. La première ligne du tableau positionne x sur la droite des réels, la seconde renseigne sur le signe de ax + b.
valeurs de x |
|
|||
signe de ax + b |
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valeurs de x |
|
|||
signe de ax + b |
|
Un système de deux inéquations du premier degré peut se réduire à la forme suivante:
Résoudre ce système c'est trouver l'ensemble des réels x vérifiant à la fois la première inéquation et la seconde inéquation.
Méthode: il suffit de résoudre séparément chaque inéquation. On obtient alors pour chaque inéquation un intervalle solution I1 pour la première inéquation, I2 pour la seconde inéquation. l'ensemble solution du système est l'intersection des deux intervalles, c'est un intervalle.
Exemple: Résoudre le système
L'ensemble des solutions du système est l'intervalle
Remarque 1: il existe parfois des systèmes d'inéquations : dont les solutions sont les réels x vérifiant l'une ou l'autre des deux inéquation (il suffit que l'une au moins des inéquations soit vérifiée). L'ensemble des solutions sera alors l'union des ensembles solutions.
La première forme de système étant la plus courante, il est fréquent que le mot et n'apparaisse plus. En revanche, pour un système de la deuxième forme, le mot ou est indispensable.
Remarque 2: on peut concevoir selon le même principe un système de trois, quatre, ... n inéquations.