Argument de la diagonale de Cantor
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L'argument de la diagonale de Cantor est une démonstration du mathématicien allemand Georg Cantor de la non-dénombrabilité de l'ensemble des nombres réels.

Cette démonstration est la deuxième écrite par Cantor au sujet de la non-dénombrabilité de \mathbb{R}. La première démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou précédemment démontrées à partir de propositions...) n'utilise pas le développement décimal (En mathématiques, le développement décimal est une façon d'écrire des nombres réels positifs à l'aide des puissances de 10 (négatives ou positives). Lorsque les nombres sont...) d'un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) réel. Elle a été adaptée pour de nombreuses démonstrations et l'utilisation de l'argument diagonal (Dans les preuves mathématiques, notamment celles de logique mathématique, l'argument diagonal est un mécanisme de construction réflexive menant...) est ainsi devenu un classique de la démonstration en mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les...).

Description

Au lieu de démontrer que \mathbb{R} est non-dénombrable, on va par commodité considérer le sous-ensemble (En mathématiques, un ensemble A est un sous-ensemble ou une partie d’un ensemble B, ou encore B est sur-ensemble de A, si tout élément du sous-ensemble A est aussi élément du...) [0,1] de \mathbb{R} et construire, pour toute partie dénombrable D de [0,1], un élément de [0,1] n'appartenant pas à D ; on aura ainsi prouvé que [0,1] ne peut être dénombrable.

Donnons-nous donc une partie dénombrable de [0,1] énumérée à l'aide d'une suite r = (ri) = {r1,r2,...,ri,...}. Chaque terme de cette suite a une écriture décimale avec une infinité de chiffres après la virgule (une infinité de 0 pour un nombre décimal), soit :

ri0 = 0 , ri1 ri2 ... rin ...

Construisons maintenant un nombre réel x dans [0,1] en considérant le nième chiffre (Un chiffre est un symbole utilisé pour représenter les nombres.) après la virgule de rn. Par exemple, pour la suite r :

r1 = 0 , 0 1 0 5 1 1 0 …
r2 = 0 , 4 1 3 2 0 4 3 …
r3 = 0 , 8 2 4 5 0 2 6 …
r4 = 0 , 2 3 3 0 1 2 6 …
r5 = 0 , 4 1 0 7 2 4 6 …
r6 = 0 , 9 9 3 7 8 1 8 …
r7 = 0 , 0 1 0 5 1 3 0

Les décimales que nous considérons sont celles se situant sur la diagonale (On appelle diagonale d'un polygone tout segment reliant deux sommets non consécutifs (non reliés par un côté). Un polygone à n côtés possède diagonales.). On définit les chiffres composant x de la façon suivante : si le ne chiffre de rn est différent de 1, alors le ne chiffre de x est 1, sinon le ne est 2. Par exemple avec la suite ci-dessus, on a x = 0 . 1 2 1 1 1 2 1.

Le nombre x est clairement dans l'intervalle [0, 1] mais ne peut pas être dans la suite { r1, r2, r3, ... }, car il n'est égal à aucun des nombres de la suite : il ne peut pas être égal à r1 car le premier chiffre après le point (Graphie) décimal de x est différent du premier chiffre après la décimal de r1, de même pour r2, etc. donc x n'est pas élément de la suite ri.

Conclusion : l'intervalle [0, 1] n'est pas dénombrable et a fortiori \mathbb{R} ne l'est pas non plus.

Cantor a utilisé une forme généralisée de l'argument de la diagonale pour démontrer le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir...) de Cantor : pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un tout », comme...) S, l'ensemble des parties de S, noté généralement P(S), est " strictement plus grand " que S lui-même. En d'autre termes, il ne peut pas exister de surjection (Une fonction est dite surjective ou est une surjection si pour tout y dans l'ensemble d'arrivée Y, il existe au moins un élément x de la source X tel que f(x) = y. On dit alors que...) de S vers P(S). En effet, s’il existe une telle surjection f de S sur P(S), on peut considérer l'ensemble A des éléments x de S tels que x n'appartienne pas à f(x). Comme A appartient à P(S), il existe, du fait de la surjectivité de f, un élément a de S tel que f(a)=A. On aboutit à une contradiction (Une contradiction existe lorsque deux affirmations, idées, ou actions s'excluent mutuellement.) aussi bien dans le cas où a appartient à A que dans le cas contraire.

Voici une version plus " accessible " de cet argument :

"  Soit un cahier comportant autant de pages que l'on veut. On numérote chaque page, et, sur chacune d'entre elles, on écrit un ensemble d'entiers (tous différents), de telle sorte à ne jamais écrire deux fois le même ensemble.
On dit qu'un nombre N est ordinaire si l'ensemble écrit à la page N ne contient pas N ; dans le cas contraire, on dit que N est extraordinaire. Supposons que l'on ait écrit sur ce cahier tous les ensembles possibles. La question est : à quelle catégorie appartient l'entier sur la page duquel on a écrit l'ensemble des nombres ordinaires ?  " 

Des raisonnements analogues ont été utilisés pour prouver l'existence ou la non-existence de certains objets en mathématiques. Par exemple, la preuve du problème de l'arrêt utilise essentiellement l'argument de la diagonale.

Cette démonstration montre que l'ensemble des nombres réels est " strictement plus grand " que l'ensemble des nombres entiers. On peut se poser la question de savoir s'il existe un ensemble dont la cardinalité (En linguistique, les nombres entiers naturels zéro, un, deux, trois, etc. s'appellent des adjectifs numéraux cardinaux. En mathématiques, un nombre cardinal est une extension de cette notion pour dénombrer les ensembles, y compris...) est strictement plus grande que celle de \mathbb{N} et strictement plus petite que celle de \mathbb{R}. L'hypothèse qu'il n'y en a pas est appelée hypothèse du continu.

De même la question de savoir s'il existe un ensemble de cardinalité comprise strictement entre card(S) et card(P(S)) conduit à l'hypothèse du continu généralisée.

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