Équilibre de Nash - Définition et Explications

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John Nash a défini une situation d'interaction comme stable si aucun agent n'a intérêt à changer sa stratégie. La formalisation de ce constat simple a été essentielle pour la théorie des jeux.

Origine de la notion

Un jeu est un cadre formel où plusieurs agents décident d'une stratégie (La stratégie - du grec stratos qui signifie « armée » et ageîn qui signifie...), sachant que leur utilité dépend des choix de tous. Avant Nash, la détermination de situation (En géographie, la situation est un concept spatial permettant la localisation relative d'un...) stable n'avait pas de méthode formelle. Même si la traduction courante d'un équilibre de Nash (John Nash a défini une situation d'interaction comme stable si aucun agent n'a intérêt à...) peut paraître simpliste, les considérables possibilités de résolution ouvertes par lui ont mérité le "Prix Nobel" d'économie en 1994, conjointement à Reinhard Selten (Reinhard Selten (né le 5 octobre 1930) est un économiste allemand.) et John Harsanyi (John Charles Harsanyi (29 Mai 1920 - 9 Août 2000) est un économiste hongrois, naturalisé...).

Cette définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la...) s'applique à des jeux avec n'importe quel nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre...) de joueurs. Nash a démontré que tous les résultats trouvés avant lui conduisaient à des équilibres stables dans son sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but...).

Optimalité

Premier exemple

Deux joueurs choisissent simultanément un nombre compris entre 0 et 10. Le joueur qui a annoncé le plus petit nombre remporte ce nombre, l'autre joueur gagne la même chose moins deux. En cas d'égalité, les deux joueurs subissent la pénalité de deux. L'unique équilibre de Nash de ce jeu est quand les deux annoncent zéro (Le chiffre zéro (de l’italien zero, dérivé de l’arabe sifr,...). Dans toutes les autres paires de stratégies, le joueur qui annonce plus ou autant peut améliorer son résultat en déclarant moins.

Exemple dit des marchands de glaces

Deux marchands de glace (La glace est de l'eau à l'état solide.) doivent choisir un emplacement sur une plage (La géomorphologie définit une plage comme une « accumulation sur le bord de mer de...) de longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus...) donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire,...). Les prix et les produits étant les mêmes, chaque client (Le mot client a plusieurs acceptations :) ira vers le marchand le plus proche de lui. Il est facile de se rendre compte que le seul équilibre de Nash pour ces deux marchands sera celui où ils sont tous deux côte à côte au centre de la plage (La Plage est un film anglo-américain réalisé par Danny Boyle en 2000 et adapté...), bien que ce soit la position la moins adéquate pour la satisfaction de leur clientèle. Cet exemple est souvent cité (La cité (latin civitas) est un mot désignant, dans l’Antiquité avant la...) comme pendant négatif de la main invisible d'Adam Smith.

Limite de la rationalité

On peut s'attendre à ce que des joueurs rationnels choisissent l'équilibre de Nash. Peut-on dire que des agents qui déclarent ne rien vouloir sont intelligents ? De même, dans le cas du dilemme du prisonnier, l'unique équilibre de Nash est la solution la moins enviable, quand les deux trahissent. Ian Stewart affirmait

L'économie expérimentale ( En art, il s'agit d'approches de création basées sur une remise en question des dogmes...) a montré que sur certaines situations simples, les êtres humains n'avaient pas spontanément un comportement en stratégie optimale selon Nash.

.. et heureusement pour eux !

Unicité

Tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...) jeu peut avoir de nombreux équilibres de Nash ou aucun -- c'est le cas du jeu de la distinction. Néanmoins, Nash est parvenu à démontrer que tout jeu avec un nombre fini de joueurs ayant un nombre fini de stratégies admet au moins un équilibre de Nash en stratégie mixte (Une stratégie mixte en théorie des jeux est une stratégie où le joueur choisit au hasard le...) -- c'est-à-dire si l'on considère comme une stratégie possible de tirer aléatoirement (avec des probabilités fixées) entre plusieurs stratégies.

Dans le cas d'un jeu à somme nulle à deux joueurs, c'est-à-dire où ce que gagne un joueur est nécessairement perdu par l'autre, ce résultat (c’est-à-dire l'utilité induite par tout équilibre) est nécessairement unique. Il a conduit à définir la valeur d'un jeu.

Limites et perspectives

Le cadre formel fourni (Les Foúrnoi Korséon (Grec: Φούρνοι...) par Nash ne couvre toutefois pas toutes les situations stables.

Communication (La communication concerne aussi bien l'homme (communication intra-psychique, interpersonnelle,...) et négociation (La négociation est la recherche d'un accord, centrée sur des intérêts matériels ou des enjeux...)

L'équilibre de Nash définit des situations d'équilibre très stables, mais -- comme on l'a vu -- non nécessairement optimales. Dans le cas d'agents isolés, ou d'une population trop nombreuse pour se coordonner, cela reste donc une notion très efficace.

Dans le cas d'interactions négociées ou encastrées dans un milieu social qui permettent la communication et l'engagement, il faut corriger, soit en intégrant le cadre au jeu - l'intervention du " Milieu " menaçant dans le dilemme du prisonnier -- soit en faisant appel à des modèles d'anticipation (Au sens général du terme, une anticipation correspond à une phase où sont...) ou de confiance des agents en la négociation.

Il reste que l'inertie (L'inertie d'un corps découle de la nécessité d'exercer une force sur celui-ci pour modifier sa...) et la recherche (La recherche scientifique désigne en premier lieu l’ensemble des actions entreprises en vue...) d'intérêt sont les deux principaux moteurs (Un moteur est un dispositif transformant une énergie non-mécanique (éolienne, chimique,...) des agents en économie : on doit leur association à un homme (Un homme est un individu de sexe masculin adulte de l'espèce appelée Homme moderne (Homo...) d'exception.

Équilibre évolutionnairement stable

Les applications des jeux répétés et en particulier l'isolement d'un comportement altruiste optimal dans des cas particuliers de dilemme du prisonnier ont intéressé les biologistes. Ce résultat a permis de combler un trou conceptuel dans l'évolutionnisme, qui paraissait privilégier l'égoïsme.

Les théoriciens ont donc défini une forme plus exigeante d'équilibre pour des modèles répétés : un équilibre évolutionnairement stable reste stable même en cas de comportement légèrement perturbé. Cette stabilité vise à couvrir les situations d'apparition de nouveaux comportements dans une population, c'est-à-dire de dépasser l'immobilisme présumé par Nash..

Anecdote

Dans l'adaptation au cinéma (On nomme cinéma une projection visuelle en mouvement, le plus souvent sonorisée. Le terme...) de la biographie de Nash, Un homme d'exception, la découverte de cet équilibre est mise en scène par une stratégie de séduction.

  • 4 camarades de Nash souhaitent séduire une fille parmi les 5 présentes.
  • Nash leur explique que s'ils suivent individuellement leur intérêt, ils tenteront tous les 4 de séduire la plus belle. Ils vont alors se court-circuiter et essaieront, par la suite, de se reporter sur l'une des 4 restantes. Mais "personne n'aime être un second choix", leur stratégie est donc vouée à l'échec.
  • La meilleure stratégie serait donc de s'entendre pour séduire chacun une des 4 autres filles évitant, de ce fait, tout court-circuit. Ils augmenteront ainsi considérablement leurs chances de succès.

Nash en déduit que la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer,...) de la main invisible de Smith est lacunaire.

Ce à quoi ses camarades rétorquent qu'il ne s'agit là que d'une stratégie destinée à séduire la plus belle...

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