Écoulement de Poiseuille
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Un fluide visqueux, s'il est en écoulement lent dans un tuyau de petit diamètre ou entre deux plaques proches, est en écoulement de Stokes.

En première approximation, si le tuyau est cylindrique ou que les plaques sont parallèles, l'écoulement du fluide (Un fluide est un milieu matériel parfaitement déformable. On regroupe sous cette appellation les gaz qui sont l'exemple des fluides compressibles, et les liquides, qui sont des fluides peu...) est partout parallèle aux parois (approximation de lubrification).

Le frottement (Les frottements sont des interactions qui s'opposent à la persistance d'un mouvement relatif entre deux systèmes en contact.) aux parois implique qu'aux échelles macroscopiques, la vitesse (On distingue :) du fluide y est nulle (condition de non-glissement).

Par ailleurs, la pression (La pression est une notion physique fondamentale. On peut la voir comme une force rapportée à la surface sur laquelle elle s'applique.) ne varie pas dans l'épaisseur de l'écoulement (approximation de lubrification).

Ces trois conditions impliquent que l'écoulement s'organise selon un champ (Un champ correspond à une notion d'espace défini:) de vitesse parabolique : vitesse nulle aux parois et maximale à mi-hauteur.

Ci-dessous, on considère deux problèmes différents qui donnent lieu à un écoulement de Poiseuille :

  • l'écoulement dans un tube de section circulaire et de rayon constant R,
  • l'écoulement entre deux plaques planes et parallèles, distantes de h ; ce calcul permet notamment d'évaluer la force (Le mot force peut désigner un pouvoir mécanique sur les choses, et aussi, métaphoriquement, un pouvoir de la volonté ou encore une vertu morale « cardinale » équivalent au courage (cf. les articles « force...) entre deux objets (par exemple deux disques) immergés dans un fluide visqueux et s'approchant à une vitesse donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un événement, etc.).

Champ de vitesse dans un tube

La vitesse est parallèle à l'axe du tube (noté z) : \vec{v} = v \vec{u}_z.

Équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer toutes les façons de donner à certaines des quantités...) du profil de vitesse :

v(r,z,\theta) = v(r) = v_{\rm max}\;\left( 1-\frac{r^2}{R^2} \right)

où la vitesse maximale (au centre du tube) est liée au gradient de pression, à la viscosité et au rayon : v_{\rm max} = \frac{R^2}{4\;\eta} \; \frac{{\rm d} p}{{\rm d} z}

La démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou précédemment...) de ce résultat est donnée plus bas.

Champ de vitesse entre deux plaques

On suppose que le gradient de pression est orienté selon l'axe x et que la normale aux plaques est orientée selon z, avec les plaques situées en z = \pm h/2. La vitesse est alors parallèle aux plaques, et plus précisément orientée selon l'axe x : \vec{v} = v \vec{u}_x.

Équation du profil de vitesse :

v(x,y,z) = v(z) = v_{\rm max}\;\left( 1-\frac{4\,z^2}{h^2} \right)

où la vitesse maximale (au centre du tube) est liée au gradient de pression, à la viscosité et à la distance entre les plaques : v_{\rm max} = \frac{h^2}{4\;\eta} \; \frac{{\rm d} p}{{\rm d} x}

La démonstration de ce résultat est similaire à celle donnée ci-dessous dans le cas du tube circulaire.

Démonstration (dans le cas du tube)

1. Par symétrie, l'écoulement ne varie ni en z, ni en θ :

v(r,z,θ) = v(r)

2. Par conséquent, les seuls efforts de cisaillement sont des forces selon z transmises radialement (selon r) :

\sigma_{rz}(r,z,\theta) = \sigma_{rz}(r) = \eta\;\frac{{\rm d} v(r)}{{\rm d} r}

3. Par symétrie également, la variation de la pression est constante le long de l'axe z :

\frac{{\rm d} p}{{\rm d} z} = {\rm const}

4. Considérons les efforts subis par une zone cylindrique de rayon r et de longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme...) Δz.

Les efforts de pression sur les deux faces circulaires du cylindre (Un cylindre est une surface dans l'espace définie par une droite (d), appelée génératrice, passant par un point variable décrivant une courbe plane fermée (c), appelée...) ont une résultante égale à :

F_{\rm faces} = \pi\,r^2 \; \Delta z \; \frac{{\rm d} p}{{\rm d} z}

Les contraintes de cisaillement sur le bord du cylindre lui transmettent une force orientée selon son axe z :

F_{\rm bord} = 2\pi\,r \; \Delta z \; \sigma_{rz}(r)

La force totale exercée sur le cylindre de liquide (La phase liquide est un état de la matière. Sous cette forme, la matière est facilement déformable mais difficilement compressible.) est nulle puisque l'écoulement est permanent. Ainsi :

\sigma_{rz}(r) = \frac{r}{2} \; \frac{{\rm d} p}{{\rm d} z}

5. Il s'ensuit que le gradient de vitesse est linéaire en r :

\frac{{\rm d} v(r)}{{\rm d} r} = \frac{\sigma_{rz}(r)}{\eta} = \frac{r}{2\;\eta} \; \frac{{\rm d} p}{{\rm d} z}

6. Autrement dit, le champ de vitesse est parabolique :

v(r) = {\rm const} + \frac{r^2}{4\;\eta} \; \frac{{\rm d} p}{{\rm d} z}

7. Compte tenu de la condition de non-glissement (Pour décrire l'écoulement d'un fluide dans une situation donnée, il est nécessaire de préciser les conditions aux limites de l'écoulement.) (v(R) = 0) :

v(r) = -\frac{R^2}{4\;\eta} \; \frac{{\rm d} p}{{\rm d} z}  \; \left( 1-\frac{r^2}{R^2} \right)

La vitesse est plus importante au centre du conduit malgré le signe négatif, étant donné que la vitesse est orientée à l'encontre du gradient de pression. Écoulement dans le sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive allant du...) positif pour un gradient négatif... CQFD (CQFD (ou c.q.f.d.[1]) est l'abréviation de « ce qu'il fallait démontrer », ponctuant, comme un repère visuel, la fin des démonstrations mathématiques et indiquant ainsi que le résultat attendu a été démontré.)

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