Algèbre de Clifford - Définition

Applications

Géométrie différentielle

En géométrie différentielle, on utilise couramment les notions d'algébre extérieure pour définir par exemple le fibré vectoriel des formes différentielles sur une variété différentielle. Dans le cas d'une variété (pseudo-)riemannienne, les espaces tangents sont munis d'une forme quadratique naturelle induite par la métrique. Ainsi, on peut définir un "fibré vectoriel" de Clifford en analogie avec le fibré vectoriel extérieur. Cette construction offre d'intéressantes applications en géométrie riemannienne.

Physique

Les algèbres de Clifford ont de nombreuses applications importantes en physique. Les physiciens considèrent habituellement une algèbre de Clifford comme une algèbre engendrée par des matrices appelées matrices de Dirac qui ont la propriété :

où est la matrice d'une forme quadratique de signature (p,q) — typiquement (1,3) lorsqu'on travaille dans un espace de Minkowski. Celles-ci sont exactement les relations définies pour l'algèbre de Clifford (à un facteur 2 sans importance près), qui par la classification des algèbres de Clifford est isomorphe à l'algèbre de matrices complexes 4 x 4. Les matrices γ_i ne sont que les matrices de la multiplication par le vecteur e_i dans la représentation spinorielle, par rapport à une base arbitraire de spineurs.

Les matrices de Dirac furent découvertes en premier par Paul Dirac lorsqu'il essaya d'écrire une équation d'onde du premier ordre relativiste pour l'électron, et donna un isomorphisme explicite de l'algèbre de Clifford vers l'algèbre des matrices complexes. Le résultat fut utilisé pour définir l'équation de Dirac. L'algèbre de Clifford entière est utilisée dans la théorie des champs quantiques sous la forme des corps de Dirac bilinéaires.