Application projective - Définition

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- Introduction - Définition et premières propriétés - Expression analytique des applications projectives - Exemple des projections - Homographies du plan - Homographies de la droite - Liens - Caractérisation géométrique des homographies

Introduction

Une application projective est une application entre deux espaces projectifs qui préserve la structure projective, c'est-à-dire qui envoie les droites, plans, espaces,... en des droites, plans, espaces.

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Définition et premières propriétés

Rappelons que la définition moderne d'un espace projectif $E\,$ est d'être un ensemble dont les points sont les droites vectorielles d'un $\mathbb K$ -espace vectoriel $\vec E$ . Une application $f\,$ d'un espace projectif $E\,$ vers un espace projectif $E'\,$ est dite projective s'il existe une application linéaire $\vec f$ injective de $\vec E$ vers $\vec E'$ telle que pour tout point $M\,$ de $E\,$ (qui est aussi une droite de $\vec E$ ), $f(M)=\vec f(M)$ . L'application linéaire $\vec f$ , qui est définie à une constante multiplicative près, est appelée l'application homogène associée à $f\,$ (et $f\,$ est dite induite par $\vec f$ ).

On peut généraliser au cas d'une application $\vec f$ non injective, mais alors l'application projective n'est plus définie que sur le complémentaire du sous-espace projectif de $E\,$ induit par le noyau de $\vec f$ .

Si $E\,$ est de dimension $n\,$ , une application projective est entièrement déterminée par la donnée de $n+2\,$ points formant un repère projectif et de leurs images.

Les applications projectives transforment un sous-espace projectif en un sous-espace projectif, et conservent le birapport de 4 points alignés distincts.

Dans le cas $E=E'\,$ , les points fixes de $f\,$ ne sont autres que les droites de $\vec E$ dirigées par un vecteur propre de $\vec f$ associé à une valeur propre non nulle.

Les applications projectives bijectives sont appelées des transformations projectives, ou homographiques, ou encore des homographies. Les homographies d'un espace projectif dans lui-même forment un groupe, appelé le groupe projectif de $E\,$ , noté $GP(E)\,$ ; ce groupe, noté $PGL(\vec E)\,$ , est isomorphe au quotient de $GL(\vec E)\,$ par le sous-groupe des homothéties.

Une classe importante d'homographies est constitué par les homologies, ayant un hyperplan de points fixes, qui engendrent le groupe projectif en dimension finie.

Expression analytique des applications projectives

Nous rapportons les espaces projectifs $E\,$ et $E'\,$ à des repères projectifs $R=(A_1,...,A_{n+1},\Omega)\,$ et $R'=(A'_1,...,A'_{n+1},\Omega')\,$ ; pour $R\,$ , il existe une unique base de $\vec E : B=(\vec e_1,...,\vec e_{n+1})$ telle que $\vec e_i$ dirige $A_i\,$ et $\vec e_1+...+\vec e_{n+1}$ dirige $\Omega\,$ (idem pour $R'\,$ ).

La matrice homogène de $f\,$ dans $R\,$ et $R'\,$ est la matrice $A=(a_{ij})\,$ de $\vec f$ dans $B\,$ et $B'\,$ .

Si l'on envoie à l'infini l'hyperplan passant par $A_1,...,A_{n+1}\,$ , l'espace affine $\check E$ obtenu s'identifie à l'hyperplan $X_{n+1}=1\,$ de $\vec E$ et on rapporte $\check E$ au repère $\check R=(X_{n+1},\vec e_1,...,\vec e_n)$ ; les coordonnées affines $(x_1,..., x_n)\,$ d'un point $M\,$ dans $\check R$ et ses coordonnées homogènes $(X_1,...,X_{n+1})\,$ sont reliées par les relations $x_i=X_i / X_{n+1}\,$ . Si l'on fait de même dans $E'\,$ , l'expression analytique homogène de $f\,$ est donnée par les formules :

, et son expression analytique affine par les formules

Les applications projectives sont donc définies analytiquement comme des quotients de formes affines par une même forme affine.

Exemple des projections

Etant donné un hyperplan

de l'espace projectif

et un point

n'appartenant pas à

la projection (ou perspective) de centre

et de base

est l'application qui à tout point

différent de

fait correspondre le point d'intersection de la droite

avec

; c'est une application projective, car elle est induite par la projection vectorielle de base

(qui est un hyperplan de

) et de direction

(qui est une droite de

Plus généralement, si

sont deux sous-espaces projectifs supplémentaires de

(c'est-à-dire

), la projection de sous-espace central

et de base

est l'application qui à tout point

n'appartenant pas à

fait correspondre le point d'intersection du sous-espace projectif engendré par

avec

. En dimension 3 par exemple, si

sont deux droites non coplanaires on peut définir la projection de droite centrale

et de base

Homographies du plan

Nous rapportons le plan projectif à un repère projectif $(X_\infty,Y_\infty,O,K)$ , et rapportons à un repère $(O,I,J)\,$ le plan affine obtenu en envoyant à l'infini la droite $(X_\infty,Y_\infty)$ ; les coordonnées des différents points sont données dans le tableau :

points	$X_\infty$	$Y_\infty$	$O$	$I$	$J$	$K$	$G$
coordonnées homogènes	(1,0,0)	(0,1,0)	(0,0,1)	(1,0,1)	(0,1,1)	(1,1,1)	(1,1,3)
coordonnées affines	( $\infty$ ,0)	(0, $\infty$ )	(0,0)	(1,0)	(0,1)	(1,1)	(1/3,1/3)

La classification des homographies provient de celle des matrices d'ordre 3 ; pour les cas où le polynôme caractéristique de l'application homogène est scindé, on obtient :

Matrice homogène réduite dans un repère projectif $(A, B, C,Ω)$	Points fixes et droites stables	cas $A=X_\infty, B=X_\infty,$ $C=0,\Omega=K\,$	expressions analytiques dans ce cas	cas $A=I, B=J, C=O, \Omega=G\,$
$\begin{bmatrix} a & & \\ & b & \\ & & 1 \end{bmatrix}$		Biaffinité de rapport $a$ suivant $O x$ , et de rapport $b$ suivant $O y$	$x'=ax\,$ $y'=by\,$	$x'=\frac {ax} {(a-1)x+(b-1)y+1}$ $y'={by \over (a-1)x+(b-1)y+1}$
$\begin{bmatrix} a & & \\ & a & \\ & & 1 \end{bmatrix}$	La droite $(A B)$ est formée de points fixes, $C$ est fixe et les droites passant par $C$ sont stables.	Homothétie de rapport $a$ et de centre $O$	$x'=ax\,$ $y'=ay\,$	$x'=\frac {ax} {(a-1)(x+y)+1}$ $y'={by \over (a-1)(x+y)+1}$ Homologie générale de centre $O$ , de base $(I J)$ et de rapport $a$ .
$\begin{bmatrix} 1 & & \\ & 1 & 1 \\ & & 1 \end{bmatrix}$	La droite $(A B)$ est formée de points fixes et les droites passant par $A$ sont stables	Translation de vecteur $\vec j$ .	$x'=x\,$ $y'=y+1\,$	$x'={x\over 2-x-y},$ $y'={z-x\over 2-x-y}\,$ Homologie spéciale de centre $I$ et de base $(I J)$
$\begin{bmatrix} a & & \\ & 1 & 1 \\ & & 1 \end{bmatrix}$	$A$ et $B$ sont fixes, et les droites $(A B)$ et ( $B C)$ sont fixes.	Dilatation de rapport $a$ suivant $O x$ et translation de vecteur $\vec j$ .	$x'=ax\,$ $y'=y+1\,$
$\begin{bmatrix} 1 &1 & \\ & 1& 1 \\ & & 1 \end{bmatrix}$	$A$ est fixe et la droite $(A B)$ est invariante	Transvection suivant $O x$ et translation suivant $O y$	$x'=x+y\,$ $y'=y+1\,$

On peut remarquer qu'il y a toujours autant de points fixes que de droites stables. Plus généralement, on montre que pour toute homographie, il existe une dualité (bijection entre les points et les droites du plan inversant les appartenances) induisant une bijection entre ses points fixes et ses droites stables.

Homographies de la droite

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