Axiomes de plans projectifs - Définition

Introduction

La géométrie projective a permis de simplifier grandement des théorèmes de géométrie plane. La géométrie projective ne travaille que sur les alignements et les intersections, elle ignore angles et longueurs. Une telle démarche conduit à envisager des espaces différents de notre espace euclidien familier, à envisager même des structures anti-intuitives. On parle souvent du plan projectif comme s'il était unique mais c'est une erreur. Une autre manière d'étudier la géométrie projective consiste à progresser par ajouts successifs d'axiomes depuis une base minimaliste (des droites qui se coupent, des points reliés par une droite), les plans projectifs se diversifient. En résumé, le géomètre projectif travaille avec le crayon et la règle non-graduée, les autres géomètres utilisent aussi l'équerre, le té, le compas et la règle graduée.

Présentation des choix possibles

Il existe plusieurs chemins pour aborder la géométrie projective. Une grande partie des difficultés tient au fait que nous sommes physiquement obligés de dessiner une figure d'un plan projectif sur le plan de la feuille de papier qui est située en réalité sur un plan métrique euclidien. Si on dessine un être mathématique imaginaire, parmi des milliers d'autres tout aussi imaginaires, sur une réalité physique unique on ne sait plus quelles propriétés concernent l'être issu de l'imagination et quelles propriétés concernent le plan métrique ordinaire, le contenu se confond avec le récipient. Et pourtant il faut bien expliquer cet être issu de l'imagination, y compris avec des petits dessins.

Au cours de l'histoire, plusieurs voies ont été utilisées.

• Les perspectivistes de la Renaissance traitaient le plan projectif comme un plan de l'espace ordinaire ayant telles et telles propriétés d'intersection ou d'alignement. Dans la même veine on définissait une conique comme l'intersection d'un cône de révolution avec un plan, le cône et le plan étant des éléments situés dans l'espace ordinaire, bien évidemment puisqu'on n'en connaissait pas d'autres.
• D'autres mathématiciens définissent le plan projectif comme une extension du plan affine.
• On peut aussi définir un plan projectif comme un plan qui possède un certain groupe de transformations qui laissent certaines choses invariantes, ces choses n'étant pas les distances ni les rapports ni les angles, mais les alignements et les birapports.
• Pour s'affranchir de la pénible ambiguïté du dessin de figures sur le plan du papier, autant trouver le moyen de raisonner sans aucune figure! C'est possible si on aborde le plan projectif d'une manière purement analytique, en partant d'un espace vectoriel de dimension 3 privé du vecteur nul, ensemble dont on prend l'ensemble-quotient relativement à une certaine relation d'équivalence. Ceci est très abstrait mais fonctionne très bien.
• Une variante de l'approche analytique est beaucoup plus concrète: les coordonnées homogènes, approche qui elle-même se subdivise en variantes
• Les coordonnées homogènes les plus faciles à manipuler sont celles qui partent des coordonnées cartésiennes (x,y) et leur rajoutent une troisième coordonnée Z qui est égale à 1 si le point est à distance finie, à 0 si le point est à l'infini. tout ceci reste très computationnel, esquive pour ainsi dire la véritable géométrie en réduisant tout à du calcul linéaire ou bilinéaire.
• Des coordonnées homogènes appelées coordonnées barycentriques peuvent être utilisées; elles ont le mérite de faire appel à une propriété géométrique concrète: le point (X,Y,Z) est le barycentre de trois points de base affectés des coefficients (X, Y, Z).

• En revanche, la démarche de présentation des plans projectifs que nous abordons ici répond à deux principes, 1) expliquer le maximum de concepts en termes de points et de droites qui se coupent, 2) construire les propriétés par l'emploi d'axiomes de plus en plus riches, y compris les propriétés des coniques. En matière de coniques d'ailleurs diverses démarches ont été suivies au cours de l'histoire, depuis la définition en termes d'intersection d'un cône et d'un plan jusqu'à la définition en termes de conservation d'un birapport.
• On peut opter pour la démarche de présentation des coniques qui consiste en une propriété d'alignement, celle de l'hexagramme de Pascal, figure particulièrement simple à comprendre sans grand bagage mathématique.