Il n'y a pas a priori d'unicité d'une base dans un espace vectoriel. Il peut donc être naturel de vouloir passer de l'expression d'un vecteur dans une base donnée à celle dans une autre base, par exemple pour faciliter les calculs.
Soit E un espace vectoriel sur un corps K. On suppose que
et
sont deux bases de cet espace. Les e'i sont en particulier des vecteurs de E, donc s'expriment comme combinaisons linéaires des vecteurs de la base (ei). On peut donc en déduire, par substitution, les nouvelles expressions des vecteurs.
Par exemple, dans le
-espace vectoriel
, on a la base canonique (e1 = (1,0),e2 = (0,1)). Il est facile de vérifier que les vecteurs e'1 = (1,1) et e'2 = (1, − 1) forment une base de
. On peut exprimer ces nouveaux vecteurs par
Et en résolvant le système d'équations, on obtient
Pour un vecteurx = λ1e1 + λ2e2 de
(avec λ1 et λ2 des réels), on peut donc l'exprimer en fonction de la nouvelle base:
Une application linéaire
d'un espace vectoriel E vers un espace vectoriel F est entièrement déterminée par l'image d'une base de E par F. En effet, soit (ei) une base de E. Alors si l'image de chaque vecteur de la base est connue (par exemple si
), l'image de tout vecteur de F est donnée par linéarité:
L'utilisation des matrices comme représentants des applications linéaires dans une base donnée n'est possible que grâce à cette propriété.
Si l'image d'une base par une application linéaire est une base, alors l'application linéaire est bijective. Cela définit de manière unique un changement de base. La matrice associée est alors dite matrice de passage.
Cette propriété fournit également un isomorphisme naturel entre un K-espace vectoriel E de dimension finie n et Kn. En effet, il suffit d'associer à chaque vecteur d'une base de E l'un des vecteurs de la base canonique de Kn de manière unique. Et puisqu'une application linéaire est entièrement déterminée par l'image d'une base, et que cette image est une base, l'application linéaire est bijective, d'où l'isomorphisme.
Existence
Tout espace vectoriel admet une base. L'existence découle du
Théorème de la base incomplète. Soient E un espace vectoriel,
une famille génératrice de E et
avec
, une sous-famille libre. Alors il existe I'' tel que
et tel que
soit une base de E.
Autrement dit, toute famille libre de E peut toujours être complétée pour obtenir une base de E en choisissant des vecteurs parmi une famille génératrice arbitrairement prescrite. En particulier, la famille vide peut être complétée en une base de E.
L'existence d'une base est équivalente en théorie des ensembles à l'axiome du choix. En particulier, la démonstration du théorème de la base incomplète repose sur le lemme de Zorn. Cependant, l'existence d'une famille génératrice finie permet de démontrer l'existence d'une base sans invoquer l'axiome du choix. Les démonstrations sont données dans l'article théorème de la base incomplète.
Généralisation de la notion de base
Lorsque l'espace vectoriel étudié dispose d'une structure plus riche, un raffinement de la notion de base est possible.
Base orthonormée
Dans le cas d'un espace euclidien, une base est dite orthonormée si, et seulement si, les vecteurs de cette base sont deux à deux orthogonaux et sont de norme égale à 1.
Par exemple, la base canonique de
est orthonormée pour le produit scalaire usuel.
Dans le cas où H est de dimension finie, cette définition coïncide avec celle de base orthonormée.
Base de Schauder
Dans le cas où X est un espace de Banach séparable de dimension infinie, on peut généraliser la notion de base dans le sens suivant : on dit que la famille
d'éléments de X est une base de Schauder pour X si, pour tout x ∈ X, il existe une unique suite
de scalaires telle que
avec convergence en norme dans X. Les scalaires
sont appelés coordonnées de x.
Une base de Hilbert (séparable) est une base de Schauder. Dans le cas où X est de dimension finie, les notions de base (algébrique) et base de Schauder coïncident.
