Base (algèbre linéaire) - Définition et Explications

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Introduction

En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre linéaire, une base d'un espace vectoriel est une famille de vecteurs de cet espace telle que chaque vecteur de l'espace puisse être exprimé de manière unique comme combinaison (Une combinaison peut être :) linéaire de vecteurs de cette base. En d'autres termes, une base est une famille de vecteurs à la fois libre et génératrice d'un espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est un ensemble muni d'une structure permettant...).

Introduction géométrique

La figure montre la base canonique (Dans un espace vectoriel, une base canonique est une base qui se présente de manière...) du plan.

La géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace...) plane (La plane est un outil pour le travail du bois. Elle est composée d'une lame semblable à celle...), celle d'Euclide (Euclide, en grec ancien Εὐκλείδης...), peut comporter une approche algébrique, celle de Descartes. En utilisant les coordonnées cartésiennes, on peut identifier un vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet...) du plan à un couple de réels. Par exemple, la figure montre comment placer le vecteur \overrightarrow{u}=(-2,1). On se sert alors des deux vecteurs de référence (dessinés en rouge (La couleur rouge répond à différentes définitions, selon le système chromatique dont on fait...) et bleu) pour le dessiner. Ainsi, tous les vecteurs du plan peuvent être exprimés de manière unique en termes de nombres vis-à-vis de deux vecteurs de référence. Ces deux vecteurs sont appelés base canonique du plan. En les notant respectivement \overrightarrow{i} et \overrightarrow{j}, un vecteur quelconque \overrightarrow{v} du plan s'exprime comme combinaison linéaire de ces deux vecteurs:

\overrightarrow{v}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j};

x et y sont des nombres réels. Par exemple,

\overrightarrow{u}=(-2,1)=-2\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}=-2(1,0)+(0,1).

Cette écriture permet d'effectuer des calculs simplement. Par exemple, on peut additionner deux vecteurs \overrightarrow{w_1}=x_1\overrightarrow{i}+y_1\overrightarrow{j} et \overrightarrow{w_2}=x_2\overrightarrow{i}+y_2\overrightarrow{j} (où x1, x2, y1 et y2 sont des réels) de la façon suivante:

\overrightarrow{w_1}+\overrightarrow{w_2}=(x_1+x_2)\overrightarrow{i}+(y_1+y_2)\overrightarrow{j}.

Cette addition (L'addition est une opération élémentaire, permettant notamment de décrire la...) a une signification géométrique. Ainsi, il existe des connexions entre géométrie et calcul algébrique (C'est vers le XVIe siècle que l'on voit avec le calcul algébrique, apparaître les...).

Le couple de vecteurs (i,j) forme une base du plan.

Cette base n'est pas unique. En fait, n'importe quel couple de vecteurs du plan choisi au hasard (Dans le langage ordinaire, le mot hasard est utilisé pour exprimer un manque efficient, sinon...) forme une base, à condition que les deux vecteurs ne soient pas colinéaires (c'est-à-dire qu'il s'agit d'une famille libre). Les deux vecteurs peuvent alors être utilisés pour exprimer tous les autres vecteurs (c'est-à-dire qu'il s'agit d'une famille génératrice). La décomposition (En biologie, la décomposition est le processus par lequel des corps organisés, qu'ils...) selon ces deux vecteurs est alors unique. La figure ci-contre montre une autre base du plan. Travailler dans d'autres bases que la base canonique permet de simplifier grandement les calculs, si la base choisie est adaptée au problème.

Cette notion de base se généralise à toute structure vectorielle. Cela permet les mêmes avantages que pour les bases du plan, à savoir un cadre simple dans lequel tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...) vecteur possède une unique écriture, qui facilite les calculs dans cette structure.

Exemples

  • Le \R-espace vectoriel \R^n admet une base C particulière, appelée base canonique, définie par
C=\{e_1=(1,0,\ldots,0),\ e_2=(0,1,\ldots,0),\ \ldots\ ,e_n=(0,0,\ldots,1)\}.
La dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une...) de \R^n est donc n.
  • L'espace vectoriel \mathbf{M}_{n,p}(K) des matrices d'ordre n\times p à coefficients dans un corps K admet pour base l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection...) formée des matrices élémentaires de \mathbf{M}_{n,p}(K), c'est-à-dire des matrices ayant un coefficient (En mathématiques un coefficient est un facteur multiplicatif qui dépend d'un certain...) égal à 1 et tous les autres nuls. La dimension de \mathbf{M}_{n,p}(K) est donc np.
  • L'espace vectoriel des polynômes sur un corps K admet pour base \{X^k\,|\,k \in \N\}. Ou plus généralement, toute famille de polynômes étagée en degré (Le mot degré a plusieurs significations, il est notamment employé dans les domaines...) convient. La dimension de K[X] est donc infinie.

Définition formelle

Soit E un espace vectoriel sur un corps K.

Famille libre

Une famille (e_1,\ldots,e_n) finie de vecteurs de E est dite libre dans E si, et seulement si:

\forall (\lambda_1,\ldots,\lambda_n) \in K^n,\ \sum_{i=1}^n \lambda_i e_i =0\Longrightarrow \forall i \in \{1,\ldots,n\},\ \lambda_i=0.

Dans le cas contraire, elle est dite liée.

Plus généralement, si (e_i)_{i \in I} est une famille (éventuellement infinie) de vecteurs de E, cette famille est dite libre dans E si, et seulement si, toutes ses sous-famille finies sont libres dans E.

Famille génératrice

Une famille (e_1,\ldots,e_n) finie de vecteurs de E est dite génératrice de E si, et seulement si, tout vecteur de E est une combinaison linéaire des vecteurs de cette famille :

\forall x \in E,\ \exists (\lambda_1,\ldots,\lambda_n)\in K^n,\ x=\sum_{i=1}^n \lambda_i e_i.

Plus généralement, si (e_i)_{i \in I} est une famille (éventuellement infinie) de vecteurs de E, cette famille est dite génératrice de E si, et seulement si, tout vecteur de E est une combinaison linéaire d'une partie finie de la famille (e_i)_{i \in I}.

Définition

Une famille de vecteurs de E est une base de E si, et seulement si, c'est une famille à la fois libre dans E et génératrice de E. De façon équivalente, une famille est une base de l'espace vectoriel E quand tout vecteur de l'espace se décompose de façon unique en une combinaison linéaire de vecteurs de cette base.

On précise cette dernière caractérisation. Une famille finie (En mathématiques, la notion de famille est une généralisation de celle de suite, suite finie ou...) B=(e_1,\ldots,e_n) est une base de E si et seulement si :

\forall x \in E,\ \exists ! (\lambda_1,\ldots,\lambda_n) \in K^n,\ x=\sum_{i=1}^n \lambda_i e_i.

Plus généralement, si B=(e_i)_{i \in I} est une famille (éventuellement infinie) de vecteurs de E, cette famille est une base de E si, et seulement si, et pour tout vecteur x de E, il existe une unique famille de scalaire (Un vrai scalaire est un nombre qui est indépendant du choix de la base choisie pour exprimer les...) (\lambda_i)_{i \in I} qui est nulle sauf en un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre...) fini d'indices et telle que :

x=\sum_{i\in I}\lambda_i e_i.

Les scalaires λi sont appelés coordonnées du vecteur x dans la base B.

Dimension

Qu'elles soient finies ou non, toutes les bases d'un espace vectoriel E ont la même cardinalité (En linguistique, les nombres entiers naturels zéro, un, deux, trois, etc. s'appellent des...), appelée la dimension de E. En particulier, si E admet une famille génératrice finie, toute base de E est finie, et la dimension de E est le nombre de vecteurs qu'elle comprend. Ce résultat, qui justifie la définition de la dimension, porte des noms différents selon les auteurs : théorème de la dimension, théorème d'équicardinalité des bases, etc.

Toute famille libre de E a alors un cardinal inférieure ou égal à dim(E), et toute famille génératrice de cet espace a un cardinal supérieur ou égal à dim(E).

Par exemple, Kn est de dimension n car sa base canonique possède exactement n vecteurs. Les solutions à l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement...) différentielle linéaire f'' + hf' + k = 0 forment un espace vectoriel réel de dimension 2 : ce résultat s'appuie sur le théorème de Cauchy Lipschitz.

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