Développement décimal de l'unité - Définition

Démonstrations algébriques

Fractions et divisions indéfinies

Une raison pour l'existence de développement décimaux indéfinis est la nécessité de représenter les fractions dans le système décimal. En utilisant les divisions indéfinies, une simple division d'entiers telle que donne un développement décimal infini dans lequel les décimales se répètent sans fin. Cette égalité donne une démonstration rapide de ce que .

En effet, il suffit de multiplier les deux membres de la relation par 9, pour obtenir d'une part et Ces deux nombres sont donc bien égaux. Sous une autre forme, on peut multiplier de part et d'autre par 3

Manipulation des décimales

Quand un nombre en notation décimale est multiplié par 10, les chiffres ne changent pas, mais le séparateur des unités est décalé d'un cran vers la droite.
Donc , ce qui est le nombre original plus 9, ce qui se voit aisément par soustraction, toutes les décimales se soustrayant l'une de l'autre pour donner 0. La suite demande un tout petit peu d'algèbre :

Discussion

Bien que ces démonstrations montrent que , la mesure où elles apportent une explication compréhensible dépend du public. Au début de l'arithmétique, ce genre de démonstration peut servir à montrer pourquoi et pourquoi . Au début de l'algèbre, ces démonstrations aident à montrer pourquoi la méthode générale de conversion entre fractions et développements décimaux périodiques marche. Mais ces démonstrations ne donnent pas beaucoup de lumière sur les relations fondamentales entre les arrangements décimaux et les nombres qu'ils représentent, ce qui est le fondement de la question selon laquelle deux développements décimaux différents représentent ou non le même nombre. William Byers pense qu'un élève qui admet que à cause des démonstrations précédentes, mais qui n'a pas résolu l'ambiguïté, ne comprend pas vraiment l'équation. Fred Richman pense que le premier argument « tire sa force du fait que les gens ont été conditionnés à accepter la première ligne sans y réfléchir. ».

Une fois qu'un schéma de représentation est défini, il peut être utilisé pour justifier les règles d'arithmétique décimale utilisées dans les démonstrations précédentes. De plus, on peut démontrer directement que les expressions et représentent toutes deux le même nombre réel, car cela fait partie de la définition ().

Démonstrations à partir de la construction des nombres réels

Certaines approches définissent explicitement les nombres réels comme certaines structures basées sur les nombres rationnels, en utilisant la théorie axiomatique des ensembles. Les nombres naturels : 0, 1, 2, etc. commencent par 0 et continuent en croissant, si bien que chaque nombre a un successeur. On peut étendre les nombres naturels par les entiers négatifs, pour obtenir tous les entiers, puis à leurs rapports, ce qui donne les nombres rationnels. Ces systèmes de nombres sont accompagnés par l'arithmétique des quatre opérations (addition, soustraction, multiplication et division). De façon plus subtile, ils incluent la notion d'ordre, si bien qu'un nombre peut être comparé à un autre, et trouvé supérieur, inférieur ou égal à ce dernier.

Le passage des rationnels aux réels est une extension majeure. Il existe au moins deux manières courantes d'aboutir à ce résultat, toutes deux publiées en 1872 : les coupures de Dedekind et les suites de Cauchy. Les démonstrations que qui utilisent directement ces constructions ne se trouvent pas dans les manuels d'analyse réelle, où la tendance dans les dernières décennies a été d'utiliser l'analyse axiomatique. Même si une construction est proposée, elle est généralement utilisée à démontrer les axiomes des nombres réels, qui à leur tour permettent les démonstrations données ci-dessus. Cependant, certains auteurs expriment l'idée qu'il serait logiquement préférable de commencer par une construction, et que les démonstrations qui en découlent seront plus autonomes.

Les coupures de Dedekind

Dans l'approche des coupures de Dedekind, tout nombre réel est défini comme l'ensemble infini de tous les rationnels inférieurs à . En particulier le nombre réel 1 est l'ensemble de tous les nombres rationnels inférieurs à 1. Tout développement décimal positif définit facilement une coupure de Dedekind : l'ensemble des rationnels inférieurs à une certaine extension du développement. Donc le nombre réel est l'ensemble des rationnels inférieurs à un des rationnels qui peut prendre les valeurs ou tout autre nombre . Tous ces nombres sont inférieurs à 1, donc ils sont éléments du nombre réel 1. Inversement, un élément de 1 est un nombre rationnel , ce qui implique . Comme et contiennent les mêmes rationnels, ils définissent des ensembles identiques, et par définition .

La définition des nombres réels comme coupures de Dedekind a été publiée pour la première fois par Richard Dedekind en 1872. La démarche ci-dessus pour faire correspondre un nombre réel à tout développement décimal est due à un papier d'éclaircissements intitulé «  est-il égal à  ? » par Fred Richman dans Mathematics Magazine, qui est destiné aux enseignants en premier cycle de l'université, et à leurs étudiants. Richman note que le fait de prendre des coupures de Dedekind sur n'importe ensemble dense des rationnels donne les mêmes résultats ; en particulier, il utilise les fractions décimales, pour lesquelles la démonstration est plus immédiate. Il note également que les démonstrations permettent de définir une coupure comme , mais pas (ou vice-versa) « Pourquoi cela ? Précisément pour éliminer la possibilité de l'existence de nombres distincts 0,9* et 1. [...] Donc nous voyons que dans la définition traditionnelle des nombres réels, l'équation 0,9* = 1 est incorporée dès le début ». Une modification supplémentaire de la procédure conduit à une structure où les deux ne sont pas égaux. Bien qu'elle soit cohérente, beaucoup des règles de l'arithmétique usuelle n'y sont plus valables : par exemple, la fraction 1/3 n'a plus de représentation, ().

Suites de Cauchy

Une autre démarche pour construire les nombres réels utilise moins directement la notion d'ordre des rationnels. On commence par définir la distance entre et comme la valeur absolue , étant entendu que la valeur absolue est la plus élevée des valeurs et , et par suite n'est jamais négative.

Dans ce cadre, les réels sont définis comme des suites de rationnels ayant la propriété des suites de Cauchy avec cette distance : Pour la suite , application des nombres naturels sur les rationnels, pour tout rationnel , il existe une valeur telle que pour tout et supérieurs à . En d'autres termes, la distance entre deux termes devient plus petite que n'importe quel rationnel positif à partir d'un certain rang.

Si et sont deux suites de Cauchy, elles sont dites égales au sens des nombres réels si la suite admet comme limite . Les troncations du nombre décimal forment une suite de rationnels qui est une suite de Cauchy. Elle est prise comme la valeur du nombre. Donc, dans ce formalisme, le travail se résume à montrer que la suite des rationnels :

admet 0 pour limite, ou en d'autres termes que :

C'est facile. Une démonstration possible est que pour , il suffit de prendre dans la définition de la limite. Donc, à nouveau, .

La définition des nombres réels comme suites de Cauchy a été publiée en premier séparément par Eduard Heine et Georg Cantor, également en 1872. La démarche précédente envers les développements décimaux, y compris le fait que , suit de près le travail de Griffiths & Hilton de 1970 : « Manuel général de mathématique classique : une interprétation contemporaine ». Ce livre est écrit spécialement pour permettre un deuxième regard sur des concepts familiers, à la lumière des travaux contemporains.