Développement décimal de l'unité - Définition

Dans la culture populaire

Avec la croissance d'Internet, les débats sur sont sortis de la salle de classe, et se trouvent fréquemment dans les forums de discussion ou d'annonces, y compris beaucoup qui n'ont en principe que peu à voir avec les mathématiques.

• Dans le forum sci.math, la discussion sur est devenue un « sport de masse », et c'est une des questions abordées dans ses FAQ. La FAQ passe rapidement sur , la multiplication par 10, les limites, et fait même allusion aux suites de Cauchy.

• Une édition de 2003 de la chronique générale The Straight Dope du Chicago Reader discute au moyen de , et des limites, et parle des malentendus intérieurs en ces termes :

« Le primate inférieur qui est en nous résiste encore, disant ne représente pas vraiment un nombre, mais à la rigueur un processus. Pour trouver un nombre, il faut arrêter le processus, mais alors l'histoire de s'effondre.
N'importe quoi... »

• Cette même chronique The Straight Dope cite une discussion sur son propre forum de discussion, qui est sortie d'un autre forum non identifié « tournant autour des jeux vidéo ».

• Dans le même esprit la question de s'est trouvée un tel succès pendant les sept premières années du forum Battle.net de la société Blizzard Entertainment que la compagnie a émis un communiqué de presse le 1^er avril 2004, pour affirmer définitivement que c'est  :

« Nous sommes très excités de fermer ce livre une fois pour toutes. Nous avons été témoins des peines de cœur et des soucis pour savoir si, oui ou non, , et nous sommes fiers d'annoncer que la démonstration suivante résout finalement et de façon conclusive pour nos clients. »

Deux démonstrations sont alors proposées, basées sur les limites et sur la multiplication par 10.

• Pour donner une idée de la vivacité des discussions qui ont lieu sur la question, on peut dénombrer plus de 5000 interventions (entre 2005 et 2010) sur la page de discussion de l'article en:0.999... d'où le présent article est en majeure partie traduit, en y comprenant évidemment toutes les archives.

• fait aussi partie du folklore mathématique, et tout spécialement dans la plaisanterie suivante (, p. 27) :

« Question : Combien faut-il de mathématiciens pour visser une ampoule électrique ?
Réponse :  »

Scepticisme dans l'enseignement

Les étudiants en mathématiques rejettent souvent l'égalité de et , pour des raisons allant de leur apparence différente à des doutes profonds concernant le concept de limite et aux désaccords sur la nature des infinitésimaux. Il y a beaucoup de facteurs qui contribuent en commun à cette confusion :

• Les étudiants sont souvent « mentalement attachés à la notion qu'un nombre peut être représenté d'une seule manière par un développement décimal ». La vue de deux développements décimaux manifestement différents du même nombre apparaît comme un paradoxe, qui est amplifié par l'apparition du nombre apparemment bien connu : .
• Certains étudiants interprètent , ou toute notation semblable, comme une suite de , longue certes, mais finie, de longueur variable, non spécifiée. Dans la mesure où ils acceptent une suite infinie, ils s'attendent néanmoins à ce que le dernier chiffre « à l'infini » soit un .
• L'intuition et un enseignement ambigu conduisent les étudiants à penser la limite d'une suite comme un processus, plutôt qu'une valeur fixe, puisqu'une suite n'a pas besoin d'atteindre sa limite. Quand les étudiants acceptent la différence entre une suite de nombre et sa limite, ils peuvent lire comme la suite elle-même, plutôt que sa limite.

Ces idées sont erronées dans le contexte de la théorie standard des nombres réels, bien que certaines puissent être valables dans d'autres systèmes numériques, soit inventés pour leur utilité générale en mathématiques, soit comme des contre-exemples pour une meilleure compréhension de la nature de .

Beaucoup de ces explications ont été trouvées par David O. Tall (en), qui a étudié les caractéristiques de l'enseignement et de la connaissance, qui conduisent à certaines des incompréhensions qu'il a rencontrées chez ses étudiants d'université. En interrogeant ses étudiants pour déterminer pourquoi une vaste majorité commençait par rejeter l'égalité, il a trouvé que « les étudiants continuent à concevoir comme une suite de nombres qui se rapproche toujours plus de , mais pas comme une valeur fixée, au motif qu'on n'a pas spécifié combien il y a de décimales, ou que c'est le nombre décimal le plus proche en-dessous de . ».

Parmi les démonstrations élémentaires, la multiplication de par est apparemment une bonne stratégie pour convaincre les étudiants réticents que . Cependant, quand on leur fait comparer leur approbation de la première équation avec leurs doutes sur la deuxième, certains étudiants commencent à douter de la première, d'autres s'énervent. Les méthodes plus sophistiquées ne sont pas plus garanties : des étudiants qui sont tout à fait capables d'appliquer des définitions rigoureuses peuvent retomber sur le langage intuitif quand ils sont surpris par un résultat de mathématique tel que . Par exemple, des étudiants en analyse réelle étaient capables de montrer que en utilisant la définition du supremum, mais insistaient sur le fait que , sur la base de leur compréhension initiale de la division indéfinie. D'autres encore peuvent démontrer que , mais, face à la , insistent sur le fait que la « logique » prend le pas sur les calculs.

Joseph Mazur (en) raconte l'histoire d'un de ses étudiants en analyse numérique, brillant au reste, qui « mettait en doute à peu près tout ce que je disais en cours, mais ne doutait jamais de sa calculette, » et qui avait fini par croire que chiffres étaient tout ce dont on a besoin pour faire des mathématiques, y compris calculer la racine carrée de . Cet étudiant continuait à douter de la valeur de l'argument de la limite , l'appelant un « processus infiniment croissant sauvagement imaginé ».

Selon la théorie APOS de l'apprentissage mathématique, Dubinsky et al. proposent que les étudiants qui perçoivent comme une suite finie, indéterminée, dont la distance infiniment petite avec , « n'ont pas fini de construire un concept du développement décimal infini ». D'autres étudiants qui ont fini de construire ce concept, ne sont sans doute pas capables d'encapsuler ce concept dans un concept d'objet, comme celui qu'ils ont pour , et ils voient donc ces deux concepts comme incompatibles. Dubinsky et al. relient aussi cette capacité mentale d'encapsulation au fait de considérer une fraction comme comme un nombre véritable, et ainsi de travailler avec les ensembles de nombres.