Développement décimal de l'unité - Définition

Problèmes connexes

• Voir l'article Logique intuitionniste.

• Les paradoxes de Zénon, et en particulier celui d'Achille et de la tortue, sont voisins du paradoxe apparent que Le paradoxe peut être modélisé mathématiquement, et comme résolu par une série géométrique. Cependant, il n'est pas clair que ce traitement mathématique s'applique aux questions d'ordre métaphysique que Zénon explorait.

• La division par zéro intervient dans certaines des discussions populaires de et excite également des controverses. Tandis que la plupart des auteurs choisissent de définir presque tous les traitements modernes laissent indéfinie la division par zéro, parce qu'on ne peut pas lui assigner de signification dans le champ des nombres réels standards. Cependant, la division par zéro peut être définie dans certains autres systèmes, comme dans l'analyse complexe, où on peut ajouter un point à l'infini aux nombres finis pour obtenir la sphère de Riemann. Dans ce cas, cela a un sens de définir comme l'infini; et, en fait, les résultats sont profonds et applicable à de nombreux problèmes en ingénierie et physique. Certains mathématiciens éminents avaient plaidé pour ce genre de définition bien avant que l'un de ces systèmes de numération ne soit mis au point.

• Le est encore une structure redondante de bien des façons d'écrire les nombres. Dans des systèmes de numération tels que les réels, où dénote l'identité pour l'addition, il n'est ni positif ni négatif, et l'interprétation usuelle de est que c'est l'inverse de pour l'addition, ce qui force . Néanmoins, certaines applications scientifiques utilisent des zéros positif et négatif distincts, comme le font la plupart des ordinateurs (par exemple, les entiers stockés sous la forme de signe et valeur absolue, ou complément à un, ou les nombre à virgule flottante, spécifiés par le standard IEEE pour les virgules flottantes.

Dans les systèmes de numération alternatifs

Bien que les nombres réels forment un système de numération extrêmement utile, la décision d'interpréter la notation comme la représentation d'un nombre réel, finalement, n'est qu'une convention, et Timothy Gowers argumente, dans « Mathématiques : une introduction très brève » que l'identité qui en résulte est une convention aussi:

« On peut définir d'autres systèmes de numération utilisant de nouvelles règles, ou de nouveaux objets ; dans ce genre de systèmes, les preuves ci-dessus devraient être réinterprétées, et on pourrait bien trouver que dans tel ou tel système et 1 ne soient pas identiques. Cependant, beaucoup de systèmes sont des extensions – ou des alternatives – par rapport au système des nombres réels, et continue à être vrai. Mais même dans ce genre de système, cela vaut la peine d'examiner le comportement de (dans la mesure où cette représentation a un sens, et en plus unique), mais aussi pour le comportement de phénomènes reliés. Si ces phénomènes diffèrent de ceux du système des nombres réels, alors au moins une des hypothèses de base de ce système est fausse.  »

Nombres infinitésimaux

Certaines démonstrations que reposent sur la propriété archimédienne des nombres réels standards : il n'y a pas d'infinitésimaux non-nuls. Il existe des structures algébriques mathématiquement cohérentes, comprenant diverses alternatives aux réels standards, qui ne sont pas archimédiennes. La signification de dépend de la structure dans laquelle on l'utilise. Par exemple les nombres duaux possèdent un nouvel élément, infinitésimal, , analogue dans les nombres complexes à l'unité imaginaire , sauf que dans le cas des nombres duaux, La structure qui en résulte peut servir en dérivation algorithmique. Les nombres duaux peuvent être ordonnés par un ordre lexicographique, auquel cas les multiples de deviennent des éléments non-archimédiens. Noter, cependant que, considérés comme une extension des réels, les duaux satisfont encore . Notre encore que puisque existe en tant que nombre dual, existe aussi, si bien que n'est pas « le plus petit nombre dual positif », et d'ailleurs, comme pour les réels, ce nombre n'existe pas.

L'analyse non standard fournit un système de numération avec tout un ensemble d'infinitésimaux (et leurs inverses, infiniment grands). A. H. Lightstone a mis au point un développement décimal pour les nombres hyperréels dans l'intervalle . Il montre comment associer à tout nombre une suite de décimales indexée par les nombres hypernaturels. Bien qu'il ne discute pas directement , il montre que le nombre réel est représenté par , ce qui est une conséquence de l'axiome de transfert. En multipliant par , on obtient une représentation analogue pour des développements avec des qui se répètent. Mais Lightstone montre que dans ce système, les expressions – ou – ne correspondent à aucun nombre.

En même temps, le nombre hyperréel avec la dernière décimale à un rang hypernaturel infini satisfait à l'inégalité stricte . En fait, la suite : et Selon cette écriture, Karin Katz et Mikhail Katz ont proposé une évaluation différente de  :

où est un hypernaturel infini donné par la suite , modulo un certain ultrafiltre. Ian Stewart caractérise cette interprétation comme une façon « tout à fait raisonnable » de justifier rigoureusement l'intuition qu'il « manque un petit quelque chose entre et  ». Avec Katz et Katz, Robert Ely met en question la supposition que les idées des étudiants sur le fait que sont des idées fausses sur les nombres réels, et il préfère les interpréter comme des intuitions non-standard, qui pourraient être valable dans l'étude de l'analyse.

Hackenbush

La théorie des jeux combinatoires fournit également des nombres alternatifs aux réels, avec le jeu Hackenbush (en) L-R infini comme exemple particulièrement frappant. En 1974, Elwyn Berlekamp décrit une correspondance entre les chaînes du jeu Hackenbush et les développements binaires des réels, motivé par l'idée de la compression de données. Par exemple, la valeur de la chaîne Hackenbush LRRLRLRL... est . Cependant la valeur de LRLLL... (correspondant à est infinitésimalement inférieur à . La différence entre les deux est le nombre surréel , où est le premier ordinal infini ; la représentation correspondante est LRRRR..., ou .

Brisure de la soustraction

Une autre manière par laquelle les démonstrations peuvent être rendues invalides est le cas où n'existe tout simplement pas, parce que la soustraction n'est pas toujours possible. Les structures mathématiques où il existe une opération d'addition, mais où l'opération de soustraction n'est pas toujours définie comprennent les demi-groupes commutatifs, les monoïdes commutatifs et les semi-anneaux. Richman considère un tel système, construit de façon que

Tout d'abord, Richman définit un « nombre décimal » comme une expression décimale littérale. Il définit l'ordre lexicographique, et une opération d'addition, notant que tout simplement parce que au rang des unités, mais pour tout dont le développement ne se termine pas, on a Donc une particularité des nombres décimaux est que l'addition ne peut pas toujours être compensée : une autre est qu'il n'y a pas de nombre décimal correspondant à . Après avoir défini la multiplication, les nombres décimaux forment un semi-anneau positif, totalement ordonné et commutatif.

Dans le processus de définition de la multiplication, Richman définit aussi un autre système qu'il appelle « coupures D », voisin de l'ensemble des sur les fractions décimales. Normalement cette définition conduit aux nombres réels, mais il la change légèrement pour les fractions décimales en permettant à la fois la coupure et la coupure , nommée « coupure principale ». Il n'y a pas d'infinitésimaux positifs dans les coupures D, mais il y a une sorte d'« infinitésimal négatif » , qui n'a pas de développement décimal. Il conclut que tandis que l'équation n'a pas de solution.

Nombres p-adiques

Quand on leur pose des questions sur les novices croient souvent qu'il doit y avoir un « dernier  », ce qui fait qu'ils pensent que est un nombre positif, qu'ils écrivent Que cela ait ou non un sens, le but intuitif est clair : si l'on ajoute un au dernier des cela va provoquer des retenues en cascade, remplacer tous les par des et le des unités en un Parmi d'autres raisons, cette idée échoue, parce qu'il n'y a pas de « dernier  » dans . Cependant il existe un système qui contient une infinité de y compris un dernier

Les entiers 4-adiques (points noirs), comprenant la suite convergeant vers . L'analogue 10-adique est .

Les nombres p-adiques sont un système de numération alternatif de grand intérêt en théorie des nombres. Comme les nombres réels, les nombres p-adiques peuvent être construits à partir des rationnels, au moyen de suites de Cauchy ; la construction utilise une métrique différente, dans laquelle est plus proche de et encore plus de que de 1. Les nombres p-adiques forment un corps si p est premier, et un anneau sinon, y compris . Donc on peut faire de l'arithmétique avec les nombres p-adiques, et il n'y a pas d'infinitésimaux.

Dans les nombres 10-adiques, les analogues des développements décimaux s'étendent vers la gauche. Le développement possède un dernier tandis qu'il n'a pas de premier On peut ajouter 1 au chiffre des unités, et les retenues en cascade ne laissent que des  :

donc . Une autre démonstration utilise une série géométrique. La série infinie impliquée par la notation ne converge pas dans les réels, mais elle converge dans les 10-adiques, et on peut réutiliser la formule familière :

.

– à comparer avec la série ().

Une troisième démonstration a été inventée par par un élève de cinquième, qui doutait de l'argument de la limite donné par son professeur, que , mais était inspiré par la démonstration par la multiplication par 10 (), mais à l'envers : si alors , et par suite .

Une extension finale, puisque dans les réels et dans les 10-adiques, « par une foi aveugle et un jonglage inconsidéré avec les symboles », on peut ajouter les deux relations, et arriver à . Cette équation n'a de sens ni comme développement 10-adique, ni comme développement décimal, mais il se trouve qu'on peut lui donner une signification si l'on développe une théorie des « doubles-décimales », avec des côtés gauches périodiques, pour représenter un système familier : celui des nombres réels.