Entier quadratique - Définition

• Le nombre premier p est inerte si et seulement si -d n'est pas un résidu quadratique modulo p :

Le nombre premier p est inerte, si et seulement s'il n'existe pas de morphisme de Z[u] dans un le corps fini F_p à p élément. En effet, si un tel morphisme existe, son noyau est un idéal premier de norme p et si un idéal premier de norme p existe alors le morphisme de Z[u] dans le quotient remplit la condition.

Un tel morphisme existe si et seulement s'il est possible d'associer à √d une valeur dans F_p, la seule valeur possible est une racine de l'équation X² = d, c'est-à-dire que d est résidu quadratique modulo p. Si tel est le cas, il existe une unique manière de prolonger l'application m qui à 1 associe 1 et à √d une de ces deux racines quadratiques dans F_p. Comme l'idéal pZ[u] est premier un tel morphisme n'existe pas un tel morphisme n'existe pas et -d n'est pas un résidu quadratique modulo p.

• Le corps premier Z[u]/pZ[u] est isomorphe à F_p² :

La norme de pZ[u] est égal à p². Si p est inerte, Z[u]/pZ[u] est un corps de cardinal la valeur absolue de norme de p, c'est-à-dire p². Il n'existe qu'un unique corps contenant p² éléments : F_p², ce qui permet de conclure.

• Les deux idéaux sont conjugués l'un de l'autre et ce sont les seuls idéaux de norme p.

Remarquons tout d'abord que la norme de p est égal à p². Comme le produit des normes d'idéaux est égal à la norme du produit des idéaux et que le seul idéal de norme 1 est Z[u], la décomposition en idéal premier de pZ[u] ne peut contenir plus de deux idéaux distincts. Supposons qu'elle contienne exactement deux idéaux distincts M₁ et M₂.

Alors les normes de M₁ et M₂ sont égales à p et Z[u]/M_i, si i est égal à 1 ou à 2, est isomorphe au corps premier de cardinal p. Le paragraphe précédent montre qu'il existe un élément r du corps premier F^p tel que r² est égal à -d. Il existe exactement deux morphismes de corps de Z[u] dans F_p, ils associent à 1 la valeur 1 dans F_p et à √d respectivement les valeurs r et -r. Les idéaux M₁ et M₂ sont les deux noyaux respectifs de ces deux morphismes. Ces deux morphismes sont conjugués, leurs noyaux le sont donc aussi.

• L'anneau quotient Z[u] / pZ[u] est isomorphe au produit F_pxF_p :

Montrons que l'intersection de M₁ et M₂ est égal au produit M₁.M₂. Remarquons que le produit est nécessairement inclus dans l'intersection. Réciproquement soit m un élément de l'intersection. Comme ces deux idéaux sont maximaux et distincts, M₁ + M₂ est égal à Z[u], et 1 est la somme d'un élément de M₁ et d'un élément de M₂ : m₁ + m₂ = 1 et donc m.m₁ + m.m₂ = m, ce qui démontre l'égalité.

Le théorème chinois généralisé et le fait que Z[u] / M_i soit le corps à p éléments montrent que :

• Si le nombre premier p est ramifié, l'idéal pZ[u] est égal au carré de l'unique idéal M premier contenant p :

Il a déjà été démontré que la décomposition de pZ[u] est le produit d'un ou deux idéaux premiers. Si p n'est pas premier, alors pZ[u] est un produit de deux idéaux premiers. Comme il n'en existe qu'un, noté M, contenant l'idéal pZ[u], il est nécessairement égal à M².

• L'anneau quotient Z[u] / pZ[u] contient au moins un élément nilpotent :

M contient un élément qui n'est pas multiple de p car, par hypothèse M n'est pas égal à l'idéal engendré par p. Soit α la classe de cet élément dans Z[u] / pZ[u]. Comme le carré de M est égal à pZ[u], α² est nul. L'élément α n'est pas nul dans Z[u] / pZ[u] car il contient un représentant qui n'est pas dans M, en revanche son carré l'est. Ce qui montre que l'anneau quotient contient au moins un élément nilpotent.

• Le nombre premier p est ramifié, si et seulement s'il divise le discriminant de l'anneau Z[u].

Supposons que p soit ramifié, le quotient de Z[u] par pZ[u] est un F_p espace vectoriel. Il contient un élément non nul α nilpotent d'ordre deux. L'élément α n'est pas colinéaire à la classe de 1 car aucun multiple de 1 n'est nilpotent, (1, α) forme donc une base de l'espace vectoriel quotient. Soit x et y deux vecteurs de coordonnées (x₁, x₂) et (y₁, y₂) dans la base (1, α). La matrice Μ_xy de l'homothétie de rapport xy est la suivante :

On en déduit la forme trace et la matrice T associée :

Le déterminant de T est ainsi nul. Ce déterminant est le quotient dans Z/pZ du discriminant de l'anneau Z[u]. On en déduit que le discriminant est un multiple de p, ce qu'il fallait démontrer.

Réciproquement, si p n'est pas un diviseur du discriminant, le déterminant de T dans le quotient Z[u] / pZ[u] est, à un facteur multiplicatif près, la classe du discriminant de Z[u] dans Z/pZ qui n'est pas nul. En conséquence, il n'existe pas d'élément nilpotent, ce qui montre que p ne peut être ramifié.

Dans un premier temps déterminons les valeurs de p tel que -2 est un résidu quadratique. L'article Loi de réciprocité quadratique montre que -1 est un carré si et seulement si p est congru à 1 modulo 4. La valeur 2 est un carré si et seulement si p est congru à 1 ou à 7 modulo 8. On obtient le tableau suivant :

Le signe + signifie que la valeur est un carré pour un nombre premier congru à la valeur de la première ligne modulo 8. On en conclut que -2 est un carré modulo p si et seulement si p est congru à 1 ou à 3.

Si cette condition n'est pas remplie, il est impossible de construire un morphisme de Z[i√2] dans Z/pZ, ce qui montre que p est inerte et qu'il n'y a pas de solution.

Si p est congru à 1 ou à 3 modulo 8, il existe dans Z/pZ une valeur r de carré égal à -2. L'application qui à l'entier algébrique a + b.i√2 associe a + b.r dans Z/pZ est un morphisme d'anneau. Son noyau est un idéal de Z[i√2]. Comme l'anneau est euclidien, l'idéal est principal, soit α + β.i√2 un générateur. La norme de ce générateur est égal au cardinal de l'anneau quotient, en l'occurrence p. La norme de l'idéal est aussi la valeur absolue de la norme d'un générateur. Elle est égale à α² + 2.β² et à p. Ce qui résout l'équation.

Dans un premier temps recherchons les nombres premiers inertes. L'application de la loi de réciprocité quadratique montre que 5 est un résidu quadratique modulo p si et seulement si p est un résidu quadratique modulo 5. Or Z/5Z contient deux classes de résidus, celle de 1 et celle de 4. On en déduit le tableau suivant, construit comme précédemment :

Un raisonnement analogue au précédent montre que les classes de 11, 13, 17 et 19 sont inertes.

Il reste quatre classes ramifiées ou décomposées. Il s'agit de déterminer si les idéaux associés sont principaux ou non. Pour cela examinons le groupe des classes de l'anneau. Un résultat établi précédemment montre que toute classe contient un idéal de norme inférieure à 4.√5 / π. Comme la norme est un entier relatif, la seule valeur possible pour un représentant d'une classe différente de celle des idéaux principaux est 2. On vérifie qu'un unique idéal : M₂ contenant 2 et 1 + i.√5 est de norme 2. Il n'est pas principal car aucun élément de l'anneau n'a pour norme en valeur absolue 2.

• Le groupe des classes de l'anneau d'entiers algébriques Z[i√5] est d'ordre 2.

Le discriminant de Z[i√5] est égal à -20, l'idéal M₂ est ramifié et l'anneau quotient Z[i√5] / M₂ contient des éléments nilpotents comme 1 + i.√5, dont le carré est multiple de 2.

L'existence d'un idéal premier non principal de norme 2 amène à étudier la parité des solutions de l'équation. Soit a et b deux entiers relatifs premiers entre eux tel que a² + 5.b² soit un multiple de p. Si la somme est paire, les entiers a et b sont impairs et donc congru à 1 ou à 3 modulo 4. Leur carré est congru à 1 modulo 8, en conséquence a² + 5.b² est congru à 6 modulo 8 et p est congru à 3 modulo 4. Dans ce cas là, p est congru à 3 ou 7 modulo 20. Si la somme est impaire, l'un des deux nombres est pair et l'autre impair, le carré de celui impair est congru à 1 modulo 4 et l'autre est un multiple de quatre. La somme est donc congru à 1 modulo 4 et p est congru à 1 ou 9 modulo 20.

Si p est congru à 3 ou à 7 modulo 20, l'équation ne peut admettre de solution égale à p car toute solution est paire. En conséquence, aucun idéal M_p de norme p ne peut être principal, il serait en effet généré par une solution de l'équation. En revanche, l'idéal M₂.M_p l'est car le groupe des classes est d'ordre deux et M₂ n'est pas principal. L'idéal M₂.M_p est de norme 2.p, il contient un générateur et sa norme est égal à 2.p, ce qui revient à dire que si p est congru à 3 ou 7 modulo 20, l'équation x² + 5.y² = 2.p admet une solution.

Si p est congru à 1 ou à 9 modulo 20, l'équation x² + 5.y² = 2p ne peut admettre de solution. Le raisonnement précédent montre que M₂.M_p ne peut être principal et donc M_p l'est, ce qui permet de conclure.