Entier algébrique - Définition

Introduction

En mathématiques, les entiers algébriques forment une famille de nombres qui généralise l'ensemble des nombres entiers dits relatifs. Ils jouent un rôle analogue à ces derniers en théorie algébrique des nombres.

En premier lieu, les nombres algébriques sont les éléments particuliers des extensions finies des nombres rationnels, c'est-à-dire des sous-corps des nombres complexes qui sont aussi de dimension finie sur les rationnels en tant qu'espace vectoriel. Un nombre algébrique est dit entier algébrique s'il est racine d'un polynôme unitaire (c'est-à-dire que le coefficient de son monôme dominant est égal à un) à coefficients dans les entiers relatifs. Par exemple, les nombres de la forme a + i.b avec a et b entiers relatifs, où i désigne l'unité imaginaire, forment un sous-ensemble de l'ensemble des entiers algébriques ; ils sont appelés entiers de Gauss.

Le premier usage historique est la résolution d'équations diophantiennes, c'est-à-dire d'équations souvent polynomiales à coefficients dans les entiers relatifs, et dont on recherche les solutions entières. Des exemples sont le théorème des deux carrés de Fermat, le dernier théorème de Fermat ou encore l'équation de Pell-Fermat. Par ailleurs, la compréhension de la structure d'un anneau d'entiers permet de mieux comprendre le corps d'origine. Les techniques développées pour décrire les propriétés de tels anneaux sont utilisées pour démontrer des théorèmes fondamentaux des corps de nombres comme celui de Kronecker-Weber.

Définitions

Dans cet article les lettres Z, Q, C désignent respectivement l'anneau des entiers relatifs, le corps des nombres rationnels et celui des complexes.

Un entier algébrique est un nombre complexe annulé par un polynôme unitaire à coefficients dans Z.

Si K est une sous-extension algébriques de C, les entiers algébriques appartenant à K s'apellent les entiers algébriques de K. L'ensemble des ces éléments forme ce que l'on appelle l'anneau des entiers de K, souvent noté O_K. Il se trouve que c'est bien un sous-anneau de K.C'est aussi, par définition, la fermeture intégrale de Z dans K.

Un entier algébrique est en particulier un nombre algébrique. Mais tous les nombres algébriques ne sont pas des entiers algébriques (par exemple 1/2 est algébrique mais pas entier). On peut montrer qu'un nombre algébrique est un entier algébrique si et seulement si son polynôme minimal (unitaire) est à coefficients dans Z.

En théorie algébrique des nombres, on a aussi fréquemment besoin de l'anneau des S-entiers de K, où S est un ensemble fini de nombres premiers. Il s'agit des éléments de K annulés par un polynôme unitaire à coefficients dans Z[S^-1], anneau des nombres rationnels dont le dénominateur n'est divisible que par les premiers de S. Par exemple si S={2,3}, alors Z[S^-1] est l'ensemble des fractions de la forme c/2^a3^b.

La notion d'entiers algébriques et celle de S-entiers sont des cas particuliers d'éléments entiers dans une extension d'anneaux:

• Soient A, B deux anneaux commutatifs unitaires et φ un morphisme de A dans B qui fait de B une A-algèbre. Un élément b de B est dit entier sur A s'il est annulé par un polynôme unitaire à coefficients dans φ(A).

Ici Z est remplacé par A, C par B et l'inclusion de Z dans C par le morphisme φ. Il existe un cas particulier donnant lieu à une définition:

• Soient A un anneau commutatif unitaire intègre, et K son corps des fractions, l'ensemble des éléments de K entiers sur A est appelé la clôture intégrale de A. Si la clôture intégrale de A est égale à lui-même, A est dit intégralement clos.