Fraction égyptienne - Définition

Théorie des nombres moderne

Les théoriciens des nombres modernes ont étudié beaucoup de problèmes différents reliés aux fractions égyptiennes, incluant les problèmes de borne pour la longueur ou de dénominateur maximum dans les représentations en fractions égyptiennes, la recherche de développements de certaines formes spéciales ou dans lesquels les dénominateurs sont tous d'un certain type spécial, l'arrêt de diverses méthodes pour les développements de fractions égyptiennes et ont montré que les développements existent pour un ensemble suffisamment dense quelconque de nombres suffisamment lisses.

• La conjecture d'Erdős–Graham dans la théorie combinatoire des nombres établit que, si les fractions unitaires sont partitionnées en beaucoup de sous-ensembles de manière finie, alors, un des sous-ensembles peut être utilisé pour former une représentation en fraction égyptienne de un. C’est-à-dire, pour chaque r > 0, et chaque r-coloration d'entiers plus grands que un, il existe un sous-ensemble monochromatique fini S de ces entiers tel que :

La conjecture a été démontrée en 2003 par Ernest S. Croot, III.

• Le problème de Znám est intimement relié à l'existence des fractions égyptiennes de la forme :

• Les fractions égyptiennes sont normalement définies comme requérant tous les dénominateurs distincts, mais ceci peut être assoupli pour permettre les dénominateurs répétés. Néanmoins, cette forme assouplie des fractions égyptiennes ne permet pas une représentation d'un nombre quelconque utilisant peu de fractions, comme tout développement avec des fractions répétées peut être converti en une fraction égyptienne de longueur égale ou plus petite par l'application du remplacement :

si k est impair, ou simplement en remplaçant 1/k+1/k par 2/k si k est pair. Ce résultat fut démontré en premier par Takenouchi (1921).

• Graham et Jewett (Wagon 1991) et Beeckmans (1993) ont démontré qu'il est possible, de manière similaire, de convertir les développements avec des dénominateurs répétés en fractions égyptiennes (plus longues), via le remplacement :

Cette méthode peut conduire à de longs développements avec de grands dénominateurs, tels que :

Botts (1967) a utilisé originellement cette technique de remplacement pour montrer qu'un nombre rationnel quelconque possède des représentations en fractions égyptiennes avec des dénominateurs minimums arbitrairement grands.

• Une fraction x/y quelconque possède une représentation en fraction égyptienne dans laquelle le dénominateur maximum est borné par

(Tenenbaum et Yokota 1990) et une représentation avec au plus

termes (Vose 1985).

• Graham (1964) a caractérisé les nombres qui peuvent être représentés par les fractions égyptiennes dans lesquelles tous les dénominateurs sont des puissances n-èmes. En particulier, un nombre rationnel q peut être représenté comme une fraction égyptienne avec des dénominateurs carrés si et seulement si q est situé dans un des deux intervalles demi-ouverts :

• Martin (1999) a montré qu'un nombre rationnel quelconque possède des développements très denses, en utilisant une fraction constante de dénominateurs allant jusqu'à N pour un N suffisamment grand.