Fraction égyptienne - Définition et Explications

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Une fraction égyptienne est une somme de fractions unitaires, c'est-à-dire de fractions qui ont des numérateurs égaux à 1 et des dénominateurs entiers positifs, avec ces dénominateurs tous différents les uns des autres.

Il peut être montré que tous les nombres rationnels positifs peuvent être écrits sous cette forme et ce, d'une infinité de façons différentes.

En effet, il est trivial d'exprimer toutes fractions par une somme de fractions unitaires en se permettant de répéter les termes comme dans l'exemple :

\frac{2}{5} = \frac{1}{5} + \frac{1}{5}\,.

Mais si l'on exige que tous les dénominateurs soient distincts, à l'instar des Égyptiens durant l'antiquité, cette représentation est toujours possible grâce à l'identité :

\frac{1}{a} = \frac{1}{(a+1)} + \frac{1}{a(a+1)}\, que connaissait dès 1202 le grand mathématicien (Un mathématicien est au sens restreint un chercheur en mathématiques, par extension toute personne faisant des mathématiques la base de son activité...) européen du Moyen Âge Leonardo Fibonacci (Leonardo Fibonacci (Pise, v. 1170 - v. 1250) est un mathématicien italien. Fibonacci (de son nom moderne), connu à l'époque sous le nom de Leonardo Pisano (Léonard de Pise), mais aussi de Leonardo Bigollo (bigollo signifiant...).

Ainsi, en reprenant l'exemple ci-dessus : 2/5 = 1/5 + 1/6 + 1/30. En appliquant le même procédé à chacune des fractions unitaires, 2/5 peut donc s'exprimer comme une multitude de fractions égyptiennes.

On peut démontrer le même résultat en utilisant les séries harmoniques.

Il peut être montré que chaque nombre rationnel (Un nombre rationnel est un nombre réel exprimable par le quotient de deux entiers relatifs (), dont le second est non nul. L'ensemble des nombres rationnels...) positif, a/b, peut être écrit sous la forme d'une fraction égyptienne. Ce type de sommes, utilisé pour exprimer les fractions par les anciens Égyptiens, a continué à faire l'objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise,...) d'études lors de la période médiévale. En notation mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les transformations. Les mathématiques...) moderne, les fractions égyptiennes ont été remplacées par les fractions vulgaires et la notation décimale. Néanmoins, les fractions égyptiennes continuent d'être un objet d'étude en théorie des nombres (Traditionnellement, la théorie des nombres est une branche des mathématiques qui s'occupe des propriétés des nombres entiers, qu'ils soient...) moderne et en mathématiques récréatives, aussi bien que dans les études historiques modernes des mathématiques anciennes.

Dans cet article, nous résumons ce qui est connu à propos des fractions égyptiennes à la fois anciennes et modernes. Pour les détails des sujets traités ici, voir les articles liés.

Les fractions dans l'Égypte antique

Cette propriété a permis aux anciens Égyptiens d'exprimer simplement tous les nombres rationnels.

N'importe quelle fraction que nous écrivons avec un numérateur non unitaire était écrite par les anciens Égyptiens comme une somme de fractions unitaires sans que deux de ces dénominateurs soient les mêmes.

Le hiéroglyphe en forme de bouche (La bouche (encore dénommée cavité buccale ou cavité orale) est l'ouverture par laquelle la nourriture d'un animal entre dans son corps. Le mot gueule s'utilise aussi, mais avec un sens...) ouverte qui signifie partie était utilisé pour représenter le numérateur 1 :

D21

Les fractions étaient écrites avec ce hiéroglyphe dessus et le dénominateur en dessous. Ainsi 1/3 était écrit :

D21
= \frac{1}{3}

Il y avait des symboles spéciaux pour les fractions les plus courantes comme 1/2 et pour deux fractions non unitaire 2/3 et 3/4 :

= \frac{1}{2}  
= \frac{2}{3}  
= \frac{3}{4}

Si le dénominateur devenait trop large, la "bouche" était placée juste au début du dénominateur :

D21

= \frac{1}{331}

Bien que d'usage (L’usage est l'action de se servir de quelque chose.) peu commode, la représentation d'un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) rationnel en fractions égyptiennes comme se l'imposaient les Égyptiens permet de déterminer immédiatement qu'une fraction est plus grande que l'autre.

Exemple :

  • 55/84 = 1/2 + 1/7 + 1/84
  • 7/11 = 1/2 + 1/8 + 1/88

Donc, le nombre rationnel 55/84 est clairement plus grand que 7/11 alors que ces deux nombres ne diffèrent entre eux que de 2% environ.

La "table de deux" du Papyrus Rhind

Le papyrus Rhind (environ -1650) qui est conservé au British Museum de Londres (Londres (en anglais : London - /?l?nd?n/) est la capitale ainsi que la plus grande ville d'Angleterre et du Royaume-Uni. Fondée il y a plus de 2 000 ans par les Romains, la ville est...), est le plus important document (Dans son acception courante un document est généralement défini comme le support physique d'une information.) nous informant des connaissances mathématiques des temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) anciens. Il comporte 87 problèmes résolus d'arithmétique (L'arithmétique est une branche des mathématiques qui comprend la partie de la théorie des nombres qui utilise des méthodes de la géométrie algébrique et de la théorie des groupes. On l'appelle plus généralement la « science...), d'algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche des mathématiques qui étudie, d'une...), de géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et,...) et d'arpentage. Mais, avant de prendre connaissance de ces problèmes, l'égyptien devait avoir à sa disposition différentes tables lui permettant de décomposer directement les fractions non unitaires en fractions unitaires. Une de ces tables, la table dite "de deux", se trouve en première position sur le Papyrus de Rhind. Elle répertorie les fractions dont le numérateur est 2 et dont le dénominateur varie de 3 à 101, et donne leur équivalent en somme de fractions unitaires.

Quelques exemples de décomposition (En biologie, la décomposition est le processus par lequel des corps organisés, qu'ils soient d'origine animale ou végétale dès l'instant qu'ils sont privés de vie,...) en fractions unitaires de la table de deux :

2/5 -> 1/3 + 1/15
2/7 -> 1/4 + 1/28
2/9 -> 1/6 + 1/18
2/11 -> 1/6 + 1/66
2/101 -> 1/101 + 1/202 + 1/303 + 1/606

Ces différents résultats furent obtenus par les anciens égyptiens en appliquant la technique de la division :

exemple de 2/5 :

1 5
2/3 3 + 1/3
1/3 1 + 2/3
1/15 1/3

1/3 + 1/15  2

(1 + 2/3) + 1/3 = 2 par conséquent le résultat est 1/3 + 1/15.

Exemple du papyrus Rhind

Le problème numéro 24 du papyrus est le suivant : Un nombre ajouté à son septième donne 19, quel est ce nombre ?

Sous forme symbolique moderne, la réponse est triviale: x + x/7 = 8x/7 = 19, soit x = 133/8.

Mais il y a 4 000 ans, le calcul fractionnaire et le symbolisme algébrique n'étaient pas vraiment au point (Graphie). En fait, le problème n'est alors pas dans la résolution même de l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer...), mais dans la mise en équation et la difficulté d'aboutir, à défaut d'une démarche algébrique pratique, à la forme simple ax = b.

Pour cela les Égyptiens utilisaient la méthode dite de la fausse position. On appelle ainsi une méthode de résolution algébrique consistant à fournir une solution approchée (fausse) conduisant, par un algorithme approprié tirant parti de l'écart constaté, à la solution du problème considéré.

Dans notre exemple l'idée première est de se débarrasser du dénominateur gênant en choisissant 7 comme solution "approchée" (fausse position) : le scribe obtient 8 dans le calcul du nombre augmenté de son septième. Il utilise ensuite implicitement l'algorithme suivant (où x' = 7 et c = 8) :

Si ax = b et ax'= c alors ax/ax' = b/c soit x = x'(b/c)

C'est exactement ce qui est proposé dans le papyrus : on divise 19 par 8, ce qui fournit 2 + 1/4 + 1/8 et multiplie le tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) par 7 = 1 + 2 + 4, ce qui fournit (2 + 1/4 + 1/8) + (4 + 1/2 + 1/4) + (9 + 1/2), soit 16 + 1/2 + 1/8.

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