Géométrie - Définition et Explications

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Applications de la géométrie

Longtemps, géométrie et astronomie ont été liées. À un niveau élémentaire, le calcul des tailles de la lune, du Soleil et de leurs distances respectives à la Terre fait appel au théorème de Thalès. Dans les premiers modèles du système solaire (Le système solaire est un système planétaire composé d'une étoile, le...), à chaque planète (Une planète est un corps céleste orbitant autour du Soleil ou d'une autre étoile de...) était associé un solide platonicien. Depuis les observations (L’observation est l’action de suivi attentif des phénomènes, sans volonté de les...) astronomiques de Kepler, confirmées par les travaux de Newton, il est prouvé que les planètes suivent une orbite (En mécanique céleste, une orbite est la trajectoire que dessine dans l'espace un corps...) elliptique dont le Soleil (Le Soleil (Sol en latin, Helios ou Ήλιος en grec) est l'étoile...) constitue un des foyers. De telles considérations de nature géométrique peuvent intervenir couramment en mécanique (Dans le langage courant, la mécanique est le domaine des machines, moteurs, véhicules, organes...) classique pour décrire qualitativement les trajectoires.

En ce sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but...), la géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace...) intervient en ingénierie (L'ingénierie désigne l'ensemble des fonctions allant de la conception et des études à la...) dans l'étude de la stabilité d'un système mécanique. Mais elle intervient encore plus naturellement dans le dessin industriel. Le dessin industriel montre les coupes ou les projections d'un objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans...) tridimensionnel, et est annoté des longueurs et angles. C'est la première étape de la mise en place d'un projet (Un projet est un engagement irréversible de résultat incertain, non reproductible a...) de conception industrielle. Récemment, le mariage de la géométrie avec l'informatique (L´informatique - contraction d´information et automatique - est le domaine...) a permis l'arrivée de la conception assistée par ordinateur (Un ordinateur est une machine dotée d'une unité de traitement lui permettant...) (CAO), des calculs par éléments finis et de l'infographie (L'infographie (aussi appelée faussement image de synthèse, terme qui se rapporte plus...).

La trigonométrie (La trigonométrie (du grec τρίγωνος /...) euclidienne intervient en optique (L'optique est la branche de la physique qui traite de la lumière, du rayonnement...) pour traiter par exemple de la diffraction (La diffraction est le comportement des ondes lorsqu'elles rencontrent un obstacle qui ne leur est...) de la lumière (La lumière est l'ensemble des ondes électromagnétiques visibles par l'œil...). Elle est également à l'origine du développement de la navigation : navigation maritime (La navigation maritime concerne toute les activités humaines de circulation sur les mers et...) aux étoiles (avec les sextants), cartographie (La cartographie désigne la réalisation et l'étude des cartes géographiques. Le...), navigation aérienne (La navigation aérienne est l'ensemble des techniques permettant à un pilote d'aéronef de...) (pilotage aux instruments à partir des signaux des balises).

Les nouvelles avancées en géométrie au XIXe siècle trouvent des échos en physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la...). Il est souvent dit que la géométrie riemannienne a été initialement motivée par les interrogations de Gauss sur la cartographie de la Terre (La Terre est la troisième planète du Système solaire par ordre de distance...). Elle rend compte en particulier de la géométrie des surfaces dans l'espace. Une de ses extensions, la géométrie lorentzienne, a fourni (Les Foúrnoi Korséon (Grec: Φούρνοι...) le formalisme idéal (En mathématiques, un idéal est une structure algébrique définie dans un anneau....) pour formuler les lois de la relativité générale (La relativité générale, fondée sur le principe de covariance générale...). La géométrie différentielle (En mathématiques, la géométrie différentielle est l'application des outils du calcul...) trouve de nouvelles applications dans la physique post-newtonienne avec la théorie des cordes (La théorie des cordes est l'une des voies envisagées pour régler une des questions...) ou des membranes.

La géométrie non commutative (La géométrie non commutative, développée par Alain Connes, est un type de géométrie...), inventée par Alain Connes (Alain Connes est un mathématicien français, né le 1er avril 1947 à Draguignan (Var).), tend à s'imposer pour présenter les bonnes structures mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide...) avec lesquelles travailler pour mettre en place de nouvelles théories physiques.

Domaines de recherche relevant de la géométrie

Géométrie riemannienne

La géométrie riemannienne peut être vue (La vue est le sens qui permet d'observer et d'analyser l'environnement par la réception et...) comme une extension de la géométrie euclidienne (La géométrie euclidienne commence avec les Éléments d'Euclide, qui est à...). Son étude porte sur les propriétés géométriques d'espaces (variétés) présentant une notion de vecteurs tangents, et équipés d'une métrique (métrique riemannienne) permettant de mesurer ces vecteurs. Les premiers exemples rencontrés sont les surfaces de l'espace euclidien (En mathématiques, un espace euclidien est un objet algébrique permettant de...) de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une...) 3 dont les propriétés métriques ont été étudiées par Gauss dans les années 1820. Le produit euclidien induit (L'induit est un organe généralement électromagnétique utilisé en électrotechnique chargé de...) une métrique sur la surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a...) étudiée par restriction aux différents plans tangents. La définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la...) intrinsèque de métrique fut formalisée en dimension supérieure par Riemann. La notion de transport (Le transport est le fait de porter quelque chose, ou quelqu'un, d'un lieu à un autre, le plus...) parallèle autorise la comparaison des espaces tangents en deux points distincts de la variété : elle vise à transporter de manière cohérente un vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet...) le long d'une courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du...) tracée sur la variété riemannienne. La courbure (Intuitivement, courbe s'oppose à droit : la courbure d'un objet géométrique est une mesure...) d'une variété riemannienne mesure par définition la dépendance éventuelle du transport parallèle d'un point (Graphie) à un autre par rapport à la courbe les reliant.

La métrique donne lieu à la définition de la longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus...) des courbes, d'où dérive la définition de la distance riemannienne. Mais les propriétés métriques des triangles peuvent différer de la trigonométrie euclidienne. Cette différence est en partie étudiée à travers le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une...) de comparaison de Toponogov, qui permet de comparer du moins localement la variété riemannienne étudiée à des espaces modèles, selon des inégalités supposées connues sur la courbure sectionnelle. Parmi les espaces modèles :

  • L'espace euclidien est une variété riemannienne de courbure nulle ;
  • La sphère (En mathématiques, et plus précisément en géométrie euclidienne, une...) de dimension n sont une variété riemannienne de courbure positive constante 1 ;
  • L'espace hyperbolique de dimension n est une variété riemannienne de courbure négative -1.

Géométrie complexe

La géométrie complexe porte sur les propriétés d'espaces pouvant localement s'identifier à \mathbb C^n. Ces objets (variété complexe) présentent une certaine rigidité, découlant de l'unicité d'un prolongement analytique d'une fonction à plusieurs variables.

Géométries symplectique et de contact

La géométrie symplectique (La géométrie symplectique est un domaine actif de la recherche mathématique, né...) est une branche de la géométrie différentielle et peut être introduite comme une généralisation (La généralisation est un procédé qui consiste à abstraire un ensemble de...) en dimension supérieure de la notion d'aire orientées rencontrée en dimension 2. Elle est liée aux formes bilinéaires alternées. Les objets de cette géométrie sont les variétés symplectiques, qui sont des variétés différentielles munie d'un champs de formes bilinéaires alternées. Par exemple, un espace affine (Historiquement, la notion d’espace affine est issue du choc dû à la découverte de...) attaché à un espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est un ensemble muni d'une structure permettant...) muni d'une forme bilinéaire (En mathématiques, plus précisément en algèbre linéaire, une forme...) alternée non dégénérée est une variété symplectique.

La géométrie de contact (La géométrie de contact est la partie de la géométrie différentielle qui...) est une branche de la géométrie différentielle qui étudie les variétés de contact, qui sont des variétés différentielles munies d'un champs d'hyperplans des espaces tangents vérifiant certaines propriétés. Par exemple, l'espace projectif déduit un espace vectoriel muni d'une forme bilinéaire (Soit E, F et G trois espaces vectoriels sur un corps . Soit une application, on dit que est...) alternée non dégénérée est une variété de contact.

Géométries discrète et convexe (En géométrie, un objet est convexe si pour toute paire de points { A , B } de cet objet, le...)

Géométries algébrique et arithmétique (L'arithmétique est une branche des mathématiques qui comprend la partie de la...)

Géométrie non commutative

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