Géométrie - Définition et Explications

Grandes divisions de la géométrie

Géométrie classique

Sans qualificatif particulier et sans référence à un contexte particulier (par opposition à la géométrie différentielle ou la géométrie algébrique), la géométrie ou encore géométrie classique englobe principalement :

  • La géométrie euclidienne (La géométrie euclidienne commence avec les Éléments d'Euclide, qui est à la fois une somme des connaissances géométriques de l'époque et une tentative de formalisation mathématique de ces connaissances....), qui est l'étude de l'espace usuel avec les notions de distance et d'angle ;
  • La géométrie affine (La géométrie affine est la géométrie des espaces affines : il s'agit grossièrement d'ensembles de points définis par des propriétés spécifiques permettant de parler d'alignement, de parallélisme, d'intersection. Les...), qui est l'étude des points et des droites, mais sans les notions de distance et d'angle ;
  • La géométrie projective (En mathématiques, la géométrie projective est le domaine de la géométrie qui modélise les notions intuitives de perspective et d'horizon. Elle étudie les propriétés des figures...), qui ajoute aux espaces de la géométrie affine (En mathématiques, affine peut correspondre à :) des points à l'infini ;
  • La géométrie non euclidienne (On nomme géométrie non euclidienne une théorie géométrique modifiant au moins un des axiomes postulés par Euclide dans les Éléments.), qui est une variation de la géométrie euclidienne, et qui est contraire à l'intuition usuelle, et qui comprend la géométrie hyperbolique, la géométrie elliptique et la géométrie sphérique.

Ces géométries peuvent être généralisées en faisant varier la dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur,...) des espaces, en changent les corps des scalaires (ce qui généralise les nombres réels) ou donnant une courbure (Intuitivement, courbe s'oppose à droit : la courbure d'un objet géométrique est une mesure quantitative du caractère « plus ou moins courbé »...) à l'espace. Ces géométries sont encore dite classiques.

La géométrie classique peut être axiomatisée ou étudiée de différentes façons.

  • La géométrie synthétique (ou géométrie pure), qui utilise une approche axiomatique ayant généralement comme données (Dans les technologies de l'information (TI), une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction d'affaire, d'un événement, etc.) premières les points, les droites, les plans, ainsi que les relations qui les gouvernent et les grandeurs qui leurs sont associées.
  • La géométrie analytique (La géométrie analytique est une approche de la géométrie dans laquelle on représente les objets par des équations ou inéquations. Le plan ou l'espace est nécessairement muni d'un repère.), qui utilise les coordonnées et qui associe à chaque point (Graphie) des triplet (ou une suite de longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme...) donnée) d'éléments d'un corps.
  • L'algèbre linéaire (L’algèbre linéaire est la branche des mathématiques qui s'intéresse à l'étude des espaces vectoriels (ou espaces linéaires), de leurs éléments les...), qui généralise la géométrie analytique en remplaçant l'utilisation des coordonnées par celle des espaces vectoriels abstraits.
  • La géométrie des groupes, qui étudie les action de groupe et leurs invariants. C'est là le programme d'Erlangen de Felix Klein. On s'intéresse particulièrement aux groupes (abstraits, algébriques ou de Lie) classiques, c'est-à-dire aux groupes liés aux groupes linéaires, orthogonaux, unitaires ou symplectiques, et a leurs espaces homogènes classiques (espaces symétriques, variétés de drapeaux généralisées, par exemples). On peut aussi s'intéresser à la géométrie des groupes exceptionnels.
  • La théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative, souvent basée sur...) des immeubles de Jacques Tits, et qui est liés à la géométrie des groupes algébriques classiques et exceptionnels, et qui étudie des structures combinatoires liés aux diagrammes de Coxeter. Par exemple, l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un...) de toutes les chaînes de sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est un ensemble muni d'une structure permettant d'effectuer des combinaisons linéaires.) de dimension finie sur un corps est un immeuble.

Il est remarquable que l'algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche des mathématiques qui étudie, d'une façon générale, les structures...) linéaire (espaces vectoriels, formes quadratiques, formes bilinéaires alternées, formes hermitiennes et antihermitienne, etc.) permette de construire des modèles explicites de la plupart des structures rencontrées dans ces géométries. Cela confère donc à la géométrie classique une certaine unité.

Autres types de géométries

Il y a des branches des mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les...) qui sont issues de l'étude des figures des espaces euclidiens, mais qui se sont constituées en branches autonomes des mathématiques et qui étudient des espaces qui ne sont pas nécessairement plongés dans des espaces euclidiens :

  • La topologie (La topologie est une branche des mathématiques concernant l'étude des déformations spatiales par des transformations continues (sans arrachages ni recollement des structures).);
  • La géométrie différentielle (En mathématiques, la géométrie différentielle est l'application des outils du calcul différentiel à l'étude de la géométrie. Les objets d'étude de base sont les variétés différentielles, ensembles ayant...), qui utilise l'analyse, la topologie et l'algèbre linéaire, et qui étudie des espaces qui, localement, sont des espaces euclidiens, et sur lesquels on peut faire du calcul différentiel (Un différentiel est un système mécanique qui a pour fonction de distribuer une vitesse de rotation de façon adaptative aux besoins d'un ensemble mécanique.) et du calcul intégral (Le calcul intégral est la deuxième des idées du calcul infinitésimal.). La géométrie différentielle englobe la géométrie riemannienne et la géométrie symplectique (La géométrie symplectique est un domaine actif de la recherche mathématique, né de la volonté d'une formulation mathématique naturelle à la...);
  • La géométrie algébrique (La géométrie algébrique est un domaine des mathématiques qui, historiquement, s'est d'abord intéressé à des objets...), qui utilise l'algèbre abstraite (L'algèbre abstraite, ou algèbre générale, ou encore algèbre universelle est la branche des mathématiques qui porte principalement sur l'étude des structures algébriques et des relations entre elles. Le terme...) et la topologie et qui étudie des espaces qui, localement, sont des ensembles de points définis par des équations algébriques, tels les sous-espace affines, les coniques et les quadriques;
  • La géométrie non commutative (La géométrie non commutative, développée par Alain Connes, est un type de géométrie algébrique distincte de la géométrie algébrique telle qu'on l'entend...).

Les différents espaces de la géométrie classique peuvent être étudiés par la topologie, la géométrie différentielle et la géométrie algébrique.

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