Liste des groupes finis simples - Définition

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- Introduction - Familles infinies - Liste par ordre croissant - Groupes sporadiques

Introduction

En mathématiques, la classification des groupes finis simples établit que chacun de ces groupes est soit un cyclique, soit alterné, soit membre d'une des seize familles de groupes de type de Lie (incluant le groupe de Tits), soit l'un des 26 groupes sporadiques (le groupe de Tits est parfois inclus dans les groupes de type de Lie, d'autres fois dans les groupes sporadiques).

La liste ci-dessous recense les groupes finis simples en les organisant par famille et précise à chaque fois leur ordre, la taille de leur multiplicateur de Schur, celle de leur groupe d'automorphisme extérieur et éventuellement certaines représentations habituelles. Les groupes finis simples sont déterminés par leur ordre, excepté les groupes B_n(q) et C_n(q) dont l'ordre est identique pour n > 2 et q impair, et les groupes A₈ (ou A₃(2)) et A₂(4) dont l'ordre est 20 160.

À titre de notation, dans cette liste, n désigne un entier positif, p un nombre premier et q une puissance entière de p. L'ordre du groupe d'automorphisme extérieur est donné sous la forme d·f·g, où d est l'ordre du groupe des automorphismes diagonaux, f est celui du groupe d'automorphismes de corps (engendrés par un automorphisme de Frobenius) et g celui du groupe des automorphismes de graphe (provenant des automorphismes du diagramme de Dynkin).

Familles infinies

Groupes cycliques Z_p

Notation: Z_p
Autres noms: Z/pZ
Simplicité: Toujours simples.
Ordre: p
Multiplicateur de Schur: Trivial.
Groupe d'automorphisme extérieur: Cyclique d'ordre p-1.
Remarque: Les groupes cycliques sont les seuls groupes simples qui ne sont pas parfaits.

Groupes alternés A_n

Notation: A_n, pour n > 4. Il existe un conflit avec la notation des groupes de type Lie A_n(q) qui n'ont aucun lien avec les groupes alternés ; certains auteurs utilisent des polices distinctes afin de les distinguer.
Autre noms: Alt_n.
Simplicité: Résolubles pour n < 5, simples dans le cas contraire.
Ordre: $\frac{n!}{2}$ pour n > 1.
Multiplicateur de Schur: 2 pour n = 5 ou n > 7, 6 pour n = 6 ou 7.
Groupe d'automorphisme extérieur: En général 2. Exceptions : pour n = 1, n = 2, il est trivial, et pour n = 6, il possède un ordre 4 (abélien élémentaire).
Isomorphismes

A₁ et A₂ sont triviaux. A₃ est cyclique d'ordre 3. A₄ est isomorphe à A₁(3) (résoluble). A₅ est isomorphe à A₁(4) et à A₁(5). A₆ est isomorphe à A₁(9)et au groupe dérivé B₂(2)′. A₈ est isomorphe à A₃(2).

Remarques: Un sous-groupe d'index 2 du groupe symétrique de permutations de n points lorsque n > 1.

Groupes classiques

Groupes de Chevalley linéaires A_n(q)

Notation: A_n(q)
Autres noms: Groupes linéaires projectifs spéciaux, PSL_n+1(q), L_n+1(q), PSL(n+1,q)
Simplicité: A₁(2) et A₁(3) sont résolubles, les autres sont simples.
Ordre: ${1\over (n+1,q-1)}q^{n(n+1)/2}\prod_{i=1}^n(q^{i+1}-1)$
Multiplicateur de Schur: Pour les groupes simples, il est cyclique d'ordre (n+1, q − 1), excepté pour A₁(4) (ordre 2), A₁(9) (ordre 6), A₂(2) (ordre 2), A₂(4) (ordre 48, produit de groupes cycliques d'ordres 3, 4, 4), A₃(2) (ordre 2).
Groupe d'automorphisme extérieur: (2, q − 1) ·f·1 pour n = 1 ; (n+1, q − 1) ·f·2 pour n > 1, où q = p^f.
Isomorphismes: A₁(2) est isomorphe au groupe symétrique sur 3 points d'ordre 6. A₁(3) est isomorphe au groupe alterné A₄ (résoluble). A₁(4) et A₁(5) sont isomorphes, et tous deux isomorphes au groupe alterné A₅. A₁(7) et A₂(2) sont isomorphes. A₁(8) est isomorphe au groupe dérivé G₂(3)′. A₁(9) est isomorphe à A₆ et au groupe dérivé B₂(2)'. A₃(2) est isomorphe à A₈.
Remarques: Ces groupes sont obtenus à partir des groupes linéaires généraux GL_n+1(q) en prenant les éléments de déterminant 1 (donnant les groupes linéaires spéciaux SL_n+1(q)) puis après mise en quotient par le centre.

Groupes de Chevalley orthogonaux B_n(q)

n > 1

Simplicité: B₂(2) est non simple et possède un sous-groupe simple d'index 2; les autres sont simples.
Ordre: ${1\over (2,q-1)} q^{n^2} \prod_{i=1}^n(q^{2i}-1)$
Multiplicateur de Schur: (2,q − 1) excepté pour 'B₂(2) (non simple), B₃(2)

(ordre 2) et B₃(3) (ordre 6).

Groupe d'automorphisme extérieur: (2, q − 1) ·f·1 pour q impair ou n>2; (2, q − 1) ·f·2 si q est pair et n=2, où q = p^f.
Autres noms: $O 2 n + 1 (q)$ , $Ω 2 n + 1 (q)$ (pour q impair).
Isomorphismes: B_n(2^m) est isomorphe à C_n(2^m). B₂(2) est isomorphe au groupe symétrique sur 6 points, et le groupe dérivé B₂(2)' est isomorphe à A₁(9) et à A₆. B₂(3) est isomorphe à ²A₃(2²).
Remarques: Ce groupe est obtenu à partir du groupe orthogonal en dimension 2n+1 en prenant le noyau du déterminant et l'application norme de spin. B₁(q) existe aussi, mais est le même que A₁(q). B₂(q) possède un automorphisme de graphe non-trivial lorsque q est une puissance de 2.

Groupes de Chevalley symplectiques C_n(q)

n > 2

Simplicité: Tous simples.
Ordre: ${1\over (2,q-1)} q^{n^2} \prod_{i=1}^n(q^{2i}-1)$
Multiplicateur de Schur: (2,q − 1) excepté pour C₃(2)

(ordre 2).

Groupe d'automorphisme extérieur

(2, q − 1) ·f·1 où q = p^f.

Autres noms: Groupe projectif symplectique, PSp_2n(q), PSp_n(q) (non recommandé), S_2n(q).
Isomorphismes: C_n(2^m) est isomorphe à B_n(2^m).
Remarques: Ce groupe est obtenu à partir du groupe symplectique en 2n dimensions par mise en quotient du centre. C₁(q) existe aussi, mais est le même que A₁(q). C₂(q) existe aussi, mais est le même que B₂(q).

Groupes de Chevalley orthogonaux D_n(q)

n > 3

Simplicité: Tous simples.
Ordre: ${1\over (4,q^n-1)} q^{n(n-1)} (q^n-1) \prod_{i=1}^{n-1}(q^{2i}-1)$
Multiplicateur de Schur: L'ordre est (4, qⁿ-1) (cyclique pour n impair, abélien élémentaire pour n pair) excepté pour D₄(2) (ordre 4, abélien élémentaire).
Groupe d'automorphisme extérieur

(2, q − 1) ²·f·S₃ pour n=4, (2, q − 1) ²·f·2 pour n>4 pair, (4, qⁿ − 1) ²·f·2 pour n impair, où q = p^f, et S₃ est le groupe symétrique sur 3 points d'ordre 6.

Autres noms: $O_{2n}^+(q)$ , $P\Omega_{2n}^+(q)$ .
Remarques: Ce groupe est obtenu à partir de la séparation du groupe orthogonal en dimension 2n en prenant le noyau du déterminant (ou l'invariant de Dickson en caractéristique 2) et l'application norme de spin puis en supprimant le centre.

Les groupes de type D₄ ont un groupe de diagramme d'automorphisme inhabituellement grand d'ordre 6, contenant l'automorphisme de trialité. D₂(q) existe aussi, mais est le même que A₁(q)\times A_1(q). D₃(q) existe aussi, mais est le même que A₃(q).

Groupes de Steinberg unitaires ²A_n(q²)

Autres noms: groupes de Chevalley tordus, groupes spéciaux projectifs unitaires
Notations: ²A_n(q²), PSU_n+1(q), PSU(n+1, q), U_n+1(q), ²A_n(q), ²A_n(q,q²), pour n > 1
Simplicité: ²A₁(q²) et ²A₂(2²) sont résolubles, les autres sont simples.
Ordre: ${1\over (n+1,q+1)}q^{n(n+1)/2}\prod_{i=1}^n(q^{i+1}-(-1)^{i+1})$
Multiplicateur de Schur: Cyclique d'ordre (n + 1, q + 1) pour les groupes simples, excepté pour ²A₃(2²) (ordre 2) ²A₃(3²) (ordre 36, produit de groupes cycliques d'ordres 3,3,4), ²A₅(2²) (ordre 12, produit de groupes cycliques d'ordres 2,2,3)
Groupe d'automorphisme extérieur: (n+1, q + 1) · f·1 où q² = p^f.
Isomorphismes: Le groupe résoluble ${}^2\!A_2(2^2)$ est isomorphe à une extension du groupe de quaternion d'ordre 8 par un groupe abélien élémentaire d'ordre 9. ${}^2\!A_2(3^2)$ est isomorphe au groupe dérivé G₂(2)'. ${}^2\!A_3(2^2)$ est isomorphe à B₂(3).
Remarques: Ceci est obtenu à partir du groupe unitaire en n+1 dimensions en prenant les sous-groupes d'éléments de déterminant 1 puis par mise en quotient en dehors par le centre.

Groupes de Steinberg orthogonaux ²D_n(q²)

n > 3

Simplicité: Tous simples.
Ordre: ${1\over (4,q^n+1)} q^{n(n-1)} (q^n+1) \prod_{i=1}^{n-1}(q^{2i}-1)$
Multiplicateur de Schur: Cyclique d'ordre (4, qⁿ + 1).
Groupe d'automorphisme extérieur

(4, qⁿ + 1) ·f·1 où $q 2 = p f$ .

Autres noms: ${}^2\!D_n(q)$ , $O_{2n}^{-}(q)$ , $P \Omega_{2n}^{-}(q)$ , groupe de Chevalley tordu.
Remarques: Ceci est le groupe obtenu à partir du groupe orthogonal non séparé en dimension 2n en prenant le noyau du déterminant (ou l'invariant de Dickson de caractéristique 2) et l'application de norme de spin puis en supprimant le centre.

${}^2\!D_2(q^2)$ existe aussi, mais est le même que A₁(q). ${}^2\!D_3(q^2)$ existe aussi, mais est le même que ${}^2\!A_3(q^2)$ .

Groupes de type de Lie exceptionnels

Groupes de Chevalley E₆(q)

Simplicité: Tous simples.
Ordre

q³⁶ (q¹²−1) (q⁹−1) (q⁸−1) (q⁶−1) (q⁵−1) (q²−1) /(3,q-1)

Multiplicateur de Schur: (3,q − 1)
Groupe d'automorphisme extérieur

(3, q − 1) ·f·2 où q = p^f.

Autres noms: Groupe de Chevalley exceptionnel.
Remarques: possède deux représentations de dimension 27, et agit sur l'algèbre de Lie de dimension 78.

Groupes de Chevalley E₇(q)

Simplicité: Tous simples.
Ordre

q⁶³ (q¹⁸−1) (q¹⁴−1) (q¹²−1) (q¹⁰−1) (q⁸−1) (q⁶−1) (q²−1) /(2,q-1)

Multiplicateur de Schur: (2,q − 1)
Groupe d'automorphisme extérieur

(2, q − 1) ·f·1 where q = p^f.

Autres noms: Groupe de Chevalley exceptionnel.
Remarques: possède une représentation de dimension 56, et agit sur l'algèbre de Lie correspondante de dimension 133.

Groupes de Chevalley E₈(q)

Simplicité: Tous simples.
Ordre

q¹²⁰ (q³⁰−1) (q²⁴−1) (q²⁰−1) (q¹⁸−1) (q¹⁴−1) (q¹²−1) (q⁸−1) (q²−1)

Multiplicateur de Schur: Trivial.
Groupe d'automorphisme extérieur

1·f·1 où q = p^f.

Autres noms: Groupe de Chevalley exceptionnel.
Remarques: il agit sur l'algèbre de Lie correspondante de dimension 248. E₈(3) contient le groupe simple de Thompson.

Groupes de Chevalley F₄(q)

Simplicité: Tous simples.
Ordre

q²⁴ (q¹²−1) (q⁸−1) (q⁶−1) (q²−1)

Multiplicateur de Schur: Trivial excepté pour F₄(2) (ordre 2).
Groupe d'automorphisme extérieur

1·f·1 pour q impair, 1·f·2 pour q pair, où q = p^f.

Autres noms: Groupe de Chevalley exceptionnel.
Remarques: Ces groupes agissent sur les algèbres de Jordan exceptionnelles à 27 dimensions, qui leur donnent des représentations à 26 dimensions. Ils agissent aussi sur les algèbres de Lie correspondantes de dimension 52. F₄(q) possède un automorphisme de graphe non-trivial lorsque q est une puissance de 2.

Groupes de Chevalley G₂(q)

Simplicité: G₂(2) est non simple mais possède un sous-groupe simple d'index 2; les autres sont simples.
Ordre

q⁶ (q⁶−1) (q²−1)

Multiplicateur de Schur: Trivial pour les groupes simples excepté pour G₂(3) (ordre 3) et G₂(4) (order 2).
Groupe d'automorphisme extérieur

1·f·1 pour q non puissance de 3, 1·f·2 pour q puissance de 3, où q = p^f.

Autres noms: Groupe de Chevalley exceptionnel.
Isomorphismes: Le groupe dérivé G₂(2)' est isomorphe à ${}^2\!A_2(3^2)$ .
Remarques: Ces groupes sont des groupes d'automorphismes des algèbres de Cayley de dimension 8 sur des corps finis, qui leur donnes des représentations de dimension 7. Ils agissent aussi sur les algèbres de Lie correspondantes de dimension 14. G₂(q) possède un automorphisme de graphe lorsque q est une puissance de 3.

Groupes de Steinberg ²E₆(q²)

Simplicité: Tous simples.
Ordre

q³⁶ (q¹²−1) (q⁹+1) (q⁸−1) (q⁶−1) (q⁵+1) (q²−1) /(3,q+1)

Multiplicateur de Schur: (3, q + 1) excepté pour ${}^2\!E_6(2^2)$ (ordre 12, produit de groupes cyclique d'ordres 2,2,3).
Groupe d'automorphisme extérieur

(3, q + 1) ·f·1 où q² = p^f.

Autres noms: ${}^2\!E_6(q)$ , Groupe de Chevalley tordu.
Remarques: Une des doubles couvertures exceptionnelle de ${}^2\!E_6(2^2)$ est un sous-groupe du groupe Bébé Monstre,

et l'extension centrale exceptionnelle par le groupe abélien élémentaire d'ordre 4 est un sous-groupe du groupe Monstre.

Groupes de Steinberg ³D₄(q³)

Simplicité: Tous simples.
Ordre

q¹² (q⁸+q⁴+1) (q⁶−1) (q²−1)

Multiplicateur de Schur: Trivial.
Groupe d'automorphisme extérieur

1·f·1 où q³ = p^f.

Autres noms: ${}^3\!D_4(q)$ , Groupes de Chevalley tordus.
Remarques: ${}^3\!D_4(2^3)$ agit sur l'unique réseau pair à 26 dimensions de déterminant 3 sans racine.

Groupes de Suzuki ²B₂(2²ⁿ⁺¹) les

Simplicité: Simple pour n>1. Le groupe

${}^2\!B_2(2)$ est résoluble.

Ordre

q² (q²+1) (q−1) où q = 2²ⁿ⁺¹.

Multiplicateur de Schur: Trivial pour n>2, abélien élémentaire d'ordre 4 pour ${}^2\!B_2(8)$ .
Groupe d'automorphisme extérieur

1·f·1 où f = 2n+1.

Autres noms: $S u z (2 2 n + 1)$ , $S z (2 2 n + 1)$ .
Isomorphismes: ${}^2\!B_2(2)$ est le groupe de Frobenius d'ordre 20.
Remarques: Les groupes de Suzuki sont des groupes de Zassenhaus agissant sur les ensembles de taille (2²ⁿ⁺¹)²+1, et ont des représentations de dimension 4 sur le corps avec $2 2 n + 1$ éléments. Ce sont les seuls groupes simples non cycliques dont l'ordre n'est pas divisible par 3. Ils ne sont pas reliés au groupe de Suzuki sporadique.

Groupes de Ree ²F₄(2²ⁿ⁺¹) et groupe de Tits

Simplicité: Simple pour n>1. Le groupe dérivé ${}^2\!F_4(2)'$ est simple d'index 2

dans ${}^2\!F_4(2)$ , il est appelé le groupe de Tits, en l'honneur du mathématicien français Jacques Tits.

Ordre

q¹² (q⁶+1) (q⁴−1) (q³+1) (q−1) où q = 2^2n+1.

^{Le groupe de Tits est d'ordre 17971200 = 2¹¹ · 3³ · 5² · 13.}

Multiplicateur de Schur: Trivial pour n>1 et pour le groupe de Tits.
Groupe d'automorphisme extérieur

1·f·1 où f = 2n+1. Ordre 2 pour le groupe de Tits.

Remarques: Le groupe de Tits n'est pas à strictement parler un groupe de type Lie, et en particulier, n'est pas le groupe de point d'un groupe algébrique simple connecté avec des valeurs dans un certain corps, n'a pas non plus une paire BN. Néanmoins, la plupart des auteurs le comptent comme une sorte de groupe de type Lie honoraire.

Groupes de Ree ²G₂(3²ⁿ⁺¹)

Simplicité: Simple pour n>1. Le groupe ${}^2\!G_2(3)$ est non simple, mais son groupe dérivé ${}^2\!G_2(3)'$ est un sous-groupe simple d'index 3.
Ordre

q³ (q³+1) (q−1) où q = 3²ⁿ⁺¹

Multiplicateur de Schur: Trivial pour n>1.
Groupe d'automorphisme extérieur

1·f·1 où f = 2n+1.

Autres noms: $R e e (3 2 n + 1)$ , $R (3 2 n + 1)$ .
Isomorphismes: Le groupe dérivé ${}^2\!G_2(3)'$ est isomorphe à A₁(8).
Remarques: ${}^2\!G_2(3^{2n+1})$ possède une représentation de permutation doublement transitive sur $3 3(2 n + 1) + 1$ points et agit sur un espace vectoriel à 7 dimensions sur le corps avec $3 2 n + 1$ éléments.

Liste par ordre croissant

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Liste des groupes finis simples - Définition

Introduction

Familles infinies

Groupes cycliques Zp

Groupes alternés An

Groupes classiques

Groupes de Chevalley linéaires An(q)

Groupes de Chevalley orthogonaux Bn(q)

Groupes de Chevalley symplectiques Cn(q)

Groupes de Chevalley orthogonaux Dn(q)

Groupes de Steinberg unitaires ²An(q²)

Groupes de Steinberg orthogonaux ²Dn(q²)

Groupes de type de Lie exceptionnels

Groupes de Chevalley E6(q)

Groupes de Chevalley E7(q)

Groupes de Chevalley E8(q)

Groupes de Chevalley F4(q)

Groupes de Chevalley G2(q)

Groupes de Steinberg ²E6(q²)

Groupes de Steinberg ³D4(q³)

Groupes de Suzuki ²B2(22n+1) les

Groupes de Ree ²F4(22n+1) et groupe de Tits

Groupes de Ree ²G2(32n+1)