Liste des groupes finis simples - Définition
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Liste par ordre croissant
La liste suivant recense les groupes simples finis non-cycliques d'ordre inférieur à 10 000. Les groupes cycliques ne sont pas inclus dans cette liste dans la mesure où tout groupe cyclique d'ordre p est simple dès que p est premier, ce qui est le cas pour 1 229 nombres inférieurs à 10 000.
| Groupe | Ordre (valeur) | Ordre (factorisation) |
|---|---|---|
| A5 = A1(4) = A1(5) | 60 | 2² · 3 · 5 |
| A1(7) = A2(2) | 168 | 2³ · 3 · 7 |
| A6 = A1(9) = B2(2)′ | 360 | 2³ · 3² · 5 |
| A1(8) = ²G2(3)′ | 504 | 2³ · 3² · 7 |
| A1(11) | 660 | 2² · 3 · 5 · 11 |
| A1(13) | 1 092 | 2² · 3 · 7 · 13 |
| A1(17) | 2 448 | 24 · 3² · 17 |
| A7 | 2 520 | 2³ · 3² · 5 · 7 |
| A1(19) | 3 420 | 2² · 3² · 5 · 19 |
| A1(16) | 4 080 | 24 · 3 · 5 · 17 |
| A2(3) | 5 616 | 24 · 33 · 13 |
| ²A2(9) | 6 048 | 25 · 33 · 7 |
| A1(23) | 6 072 | 23 · 3 · 11 · 23 |
| A1(25) | 7 800 | 23 · 3 · 5² · 13 |
| M11 | 7 920 | 24 · 3² · 5 · 11 |
| A1(27) | 9 828 | 2² · 33 · 7 · 13 |
Groupes sporadiques
Groupes de Mathieu
Groupe de Mathieu M11
- Ordre
- 24 · 3² · 5 · 11=7 920
- Multiplicateur de Schur
- Trivial.
- Groupe d'automorphisme extérieur
- Trivial.
- Remarques
- Un groupe de permutation 4-transitif sur 11 points, et le point stabilisateur dans M12. Le sous-groupe fixant un point est quelquefois appelé M10, et possède un sous-groupe d'index 2 isomorphe au groupe alterné A6.
Groupe de Mathieu M12
- Ordre
- 26 · 3³ · 5 · 11 = 95 040
- Multiplicateur de Schur
- Ordre 2.
- Groupe d'automorphisme extérieur
- Ordre 2.
- Remarques
- Un groupe de permutation 5-transitif sur 12 points.
Groupe de Mathieu M22
- Ordre
- 27 · 3² · 5 · 7 · 11 = 443 520
- Multiplicateur de Schur
- Cyclique d'ordre 12. Il y a eu plusieurs erreurs dans les calculs initiaux du multiplicateur de Schur, ainsi certains livres et articles anciens listent des valeurs incorrectes.
- Groupe d'automorphisme extérieur
- Ordre 2.
- Remarques
- Un groupe de permutation 3-transitif sur 22 points.
Groupe de Mathieu M23
- Ordre
- 27 · 3² · 5 · 7 · 11 · 23 = 10 200 960
- Multiplicateur de Schur
- Trivial.
- Groupe d'automorphisme extérieur
- Trivial.
- Remarques
- Un groupe de permutation 4-transitif sur 23 points, contenu dans M24.
Groupe de Mathieu M24
- Ordre
- 210 · 3³ · 5 · 7 · 11 · 23 = 244823040
- Multiplicateur de Schur
- Trivial.
- Groupe d'automorphisme extérieur
- Trivial.
- Remarques
- Un groupe de permutation 5-transitif sur 24 points.
Groupes du réseau de Leech
Groupe de Janko J2
- Ordre
- 27 · 3³ · 5² · 7 = 604 800
- Multiplicateur de Schur
- Ordre 2.
- Groupe d'automorphisme extérieur
- Ordre 2.
- Autres noms
- Groupe de Hall-Janko, HJ
- Remarques
C'est le groupe d'automorphisme d'un graphe de rang 3 sur 100 points, et est aussi contenu dans G2(4).
Groupe de Conway Co1
- Ordre
- 221 · 39 · 54 · 7² · 11 · 13 · 23 = 4 157 776 806 543 360 000
- Multiplicateur de Schur
- Ordre 2.
- Groupe d'automorphisme extérieur
- Trivial.
- Autres noms
- ·1
- Remarques
- La double couverture parfaite de Co1 est le groupe d'automorphisme du réseau de Leech, et est quelquefois noté par ·0.
Groupe de Conway Co2
- Ordre
- 218 · 36 · 5³ · 7 · 11 · 23 = 42 305 421 312 000
- Multiplicateur de Schur
- Trivial.
- Groupe d'automorphisme extérieur
- Trivial.
- Autres noms
- ·2
- Remarques
- Sous-groupe de Co1 qui fixe un vecteur de la norme 4 dans le réseau de Leech.
Groupe de Conway Co3
- Ordre
- 210 · 37 · 5³ · 7 · 11 · 23 = 495 766 656 000
- Multiplicateur de Schur
- Trivial.
- Groupe d'automorphisme extérieur
- Trivial.
- Autres noms
- ·3
- Remarques
- Sous-groupe de Co1 qui fixe un vecteur de la norme 6 dans le réseau de Leech.
Groupe de Higman-Sims HS
- Ordre
- 29 · 3² · 5³· 7 · 11 = 44 352 000
- Multiplicateur de Schur
- Ordre 2.
- Groupe d'automorphisme extérieur
- Ordre 2.
- Remarques
- Il agit comme un groupe de permutation de rang 3 sur le graphe de Higman Sims avec 100 points et est contenu dans le Co3.
Groupe de McLaughlin McL
- Ordre
- 27 · 36 · 5³· 7 · 11 = 898 128 000
- Multiplicateur de Schur
- Ordre 3.
- Groupe d'automorphisme extérieur
- Ordre 2.
- Remarques
- Il agit comme un groupe de permutation de rang 3 sur le graphe de McLauglin avec 275 points et est contenue dans Co3.
Groupe de Suzuki sporadique Suz
- Ordre
- 213 · 37 · 5²· 7 · 11 · 13 = 448 345 497 600
- Multiplicateur de Schur
- Ordre 6.
- Groupe d'automorphisme extérieur
- Ordre 2.
- Autres noms
- Sz
- Remarques
- Le revêtement à 6 variétés agit sur un réseau à 12 dimensions sur les entiers d'Eisenstein. Il n'est pas relié aux groupes de Suzuki de type de Lie.
Sous-groupes du Monstre
Groupe de Fischer Fi22
- Ordre
- 217 · 39 · 5² · 7 · 11 · 13 = 64 561 751 654 400
- Multiplicateur de Schur
- Ordre 6.
- Groupe d'automorphisme extérieur
- Ordre 2.
- Autres noms
- M(22)
- Remarques
- Un groupe 3-transposition dont la double couverture est contenue dans Fi23.
Groupe de Fischer Fi23
- Ordre
- 218 · 313 · 5² · 7 · 11 · 13 · 17 · 23 = 4 089 470 473 293 004 800
- Multiplicateur de Schur
- Trivial.
- Groupe d'automorphisme extérieur
- Trivial.
- Autres noms
- M(23)
- Remarques
- Un groupe 3-transposition contenue dans Fi24.
Groupe de Fischer Fi24′
- Ordre
- 221 · 316 · 5² · 7³ · 11 · 13 · 17 · 23 · 29 = 1 255 205 709 190 661 721 292 800
- Multiplicateur de Schur
- Ordre 3.
- Groupe d'automorphisme extérieur
- Ordre 2.
- Autres noms
- M(24)', Fi24'.
- Remarques
- La triple couverture est contenue dans le groupe Monstre.
Groupe de Held He
- Ordre
- 210 · 3³ · 5²· 7³· 17 = 4 030 387 200
- Multiplicateur de Schur
- Trivial.
- Groupe d'automorphisme extérieur
- Ordre 2.
- Autres noms
- Groupe de Held-Higman-McKay, HHM, F7.
- Remarques
- Il centralise un élément d'ordre 7 dans le groupe Monstre.
Groupe de Harada-Norton HN
- Ordre
- 214 · 36 · 56 · 7 · 11 · 19 = 273 030 912 000 000
- Multiplicateur de Schur
- Trivial.
- Groupe d'automorphisme extérieur
- Ordre 2.
- Autres noms
- F5, D
- Remarques
- Il centralise un élément d'ordre 5 dans le groupe Monstre.
Groupe de Thompson fini Th
- Ordre
- 215 · 310 · 5³ · 7² · 13 · 19 · 31 = 90745943887872000
- Multiplicateur de Schur
- Trivial.
- Groupe d'automorphisme extérieur
- Trivial.
- Autres noms
- F3, E
- Remarques
- Il centralise un élément d'ordre 3 dans le Monstre et est contenu dans E8(3).
Groupe Bébé Monstre B
- Ordre
- 241 · 313 · 56 · 7² · 11 · 13 · 17 · 19 · 23 · 31 · 47 = 4 154 781 481 226 426 191 177 580 544 000 000
- Multiplicateur de Schur
- Ordre 2.
- Groupe d'automorphisme extérieur
- Trivial.
- Autres noms
- F2
- Remarques
- Le double revêtement du groupe Bébé Monstre est contenu dans le groupe Monstre.
Groupe Monstre M
- Notations
- M, F1, M1
- Autres noms
- Groupe de Fischer-Griess, monstre de Fischer, Géant amical.
- Ordre
- 246 · 320 · 59 · 76 · 11² · 13³ · 17 · 19 · 23 · 29 · 31 · 41 · 47 · 59 · 71 = 808 017 424 794 512 875 886 459 904 961 710 757 005 754 368 000 000 000
- Multiplicateur de Schur
- Trivial.
- Groupe d'automorphisme extérieur
- Trivial.
- Remarques
- Le groupe Monstre est le groupe d'automorphisme de l'algèbre de Griess à 196884 dimensions et de l'algèbre vertex monstre, il agit naturellement sur l'algèbre de Lie Monstre. Il contient quasiment tous les autres groupes sporadiques, à part 6 groupes sporadiques que l'on nomme parias. Il est relié à la conjecture Monstrous Moonshine.
Parias
Groupe de Janko J1
- Ordre
- 2³ · 3 · 5 · 7 · 11 · 19 = 175 560
- Multiplicateur de Schur
- Trivial.
- Groupe d'automorphisme extérieur
- Trivial.
- Autres noms
- J(1), J(11)
- Remarques
- C'est un sous-groupe de G2(11), et donc possède une représentation à 7 dimensions sur le corps à 11 éléments.
Groupe de Janko J3
- Ordre
- 27 · 35 · 5 · 17 · 19 = 50 232 960
- Multiplicateur de Schur
- Ordre 3.
- Groupe d'automorphisme extérieur
- Ordre 2.
- Autres noms
- Groupe de Higman-Janko-McKay, HJM
- Remarques
- J3 semble ne pas être relié à un quelconque groupe sporadique (ou à quoi que ce soit d'autre). Sa triple couverture possède une représentation à 9 dimensions sur le corps à 4 éléments.
Groupe de Janko J4
- Ordre
- 221 · 3³ · 5 · 7 · 11³ · 23 · 29 · 31 · 37 · 43 = 86 775 571 046 077 562 880
- Multiplicateur de Schur
- Trivial.
- Groupe d'automorphisme extérieur
- Trivial.
- Remarques
- possède une représentation à 112 dimensions sur le corps à 2 éléments.
Groupe de O'Nan O'N
- Notation
- O'N, O'NS
- Autres noms
- Groupe de O'Nan-Sims
- Ordre
- 29 · 34 · 5 · 7³ · 11 · 19 · 31 = 460 815 505 920
- Multiplicateur de Schur
- Ordre 3.
- Groupe d'automorphisme extérieur
- Ordre 2.
- Remarques
- Le triple revêtement possède deux représentations à 45 dimensions sur le corps à 7 éléments, échangé par un automorphisme extérieur.
Groupe de Rudvalis Ru
- Ordre
- 214 · 3³ · 5³· 7 · 13 · 29 = 145 926 144 000
- Multiplicateur de Schur
- Ordre 2.
- Groupe d'automorphisme extérieur
- Trivial.
- Remarques
- Le double revêtement agit sur un réseau à 28 dimensions sur les entiers de Gauss.
Groupe de Lyons Ly
- Notations
- Ly, LyS.
- Autres noms
- Groupe de Lyons-Sims.
- Ordre
- 28 · 37 · 56 · 7 · 11 · 31 · 37 · 67 = 51 765 179 004 000 000
- Multiplicateur de Schur
- Trivial.
- Groupe d'automorphisme extérieur
- Trivial.
- Remarques
- Possède une représentation à 111 dimensions sur Z/5Z, le corps des congruences modulo 5.
