Logique (mathématiques élémentaires) - Définition
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Introduction
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La logique est la base des démonstrations en mathématique. Bien qu'elle apparaisse de manière cachée dans toute l'argumentation mathématique, elle est indispensable à la compréhension des théorèmes. Elle se formalise sous forme de tables de vérité dans l'algèbre de Boole
Aspect expérimental
Implications et équivalences
En logique, on découvre des conditions nécessaires, des conditions suffisantes, des implications, des équivalences, des réciproques et des contraposées. Chacun de ces mots correspond à un lien logique entre des propositions.
Dans l'affirmation:
- si ABCD est un carré alors ABCD est un parallélogramme.
On dit que
- ABCD est un carré est une condition suffisante pour que ABCD soit un parallélogramme
- ABCD est un parallélogramme est une condition nécessaire pour que ABCD soit un carré
On écrira ABCD est un carré
On peut remarquer que
- ABCD est un parallélogramme n'est pas une condition suffisante pour que ABCD soit un carré
- ABCD est un carré n'est pas une condition nécessaire pour que ABCD soit un parallélogramme
On remarque donc que l'implication
- ABCD est un parallélogramme
est une implication fausse.
Renverser le sens d'une implication, c'est prendre la réciproque.
Dans le cas de notre exemple, On peut dire que l'implication
- "si ABCD est un carré alors ABCD est un parallélogramme"
est une implication juste mais que sa réciproque est fausse.
On remarque que dans une implication, il y a souvent perte d'information entre le premier terme de l'implication et le second.
D'après notre affirmation précédente, on peut remarquer que
- si ABCD n'est pas un parallélogramme alors ABCD n'est pas un carré
Inverser le sens de l'implication et prendre la négation des affirmations s'appelle prendre la contraposée de l'implication. Dans tous les cas, si une implication est juste alors sa contraposée est juste.
Lorsque une implication est vraie et que sa réciproque est vraie aussi, on dit que les deux affirmations sont équivalentes:
Par exemple, pour trois points ABC distincts, on a:
- si ABC est un triangle rectangle en A alors AB² + AC² = BC² (première implication)
- si AB² + AC² = BC² alors le triangle est rectangle en A (réciproque)
L'implication et sa réciproque sont vraies, les deux affirmations sont donc équivalentes. On écrira donc
- ABC est rectangle en A si et seulement si (abrégé en ssi) AB² + AC² = BC²
que l'on raccourcit parfois en
- ABC est rectangle en A
Quantificateurs
En réalité, une affirmation n'est vraie que dans un domaine particulier, il faut donc préciser le domaine de validité et préciser pour quels éléments c'est vrai.
L'affirmation
- x²
n'a aucun sens hors contexte. En revanche, on peut trouver
- pour tout nombre réel x, x²
- pour tout complexe x, x²
- Il existe des complexes x tels que x²
- Il existe des imaginaires purs non nuls tels que x²
Les précisions "il existe" et "pour tout"" sont appelés des quantificateurs. Souvent sous-entendus dans les raisonnements, ils sont toujours indispensables. On peut remarquer que pour le théorème de Pythagore cité précédemment, il a été précisé, par un quantificateur, le domaine de validité "pour tous points A, B, C distincts".
Contraire
Prendre le contraire d'une affirmation, c'est exprimer la proposition qui sera vraie si et seulement si la précédente est fausse. Le contraire de la phrase
- "dans cette salle, toutes les personnes sont des filles"
est
- "dans cette salle, il existe au moins une personne qui n'est pas une fille".
Quand on maîtrise bien la logique et les quantificateurs, on sait prendre la négation de toute proposition : il suffit d'inverser les quantificateurs et de prendre la propriété contraire.
Le contraire de
- "pour tout réel x, f(x) = f(-x) " (qui traduit la parité d'une fonction définie sur R)
est
- "il existe un réel x tel que f(x)
On s'aperçoit ainsi qu'il existe des règles de calcul en logique que l'on peut formaliser à l'aide de tables de vérité
